PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 527316 
Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
Уравнения, системы уравнений. Сложные тригонометрические уравнения
i
а) Решите уравнение 
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Перепишем уравнение в виде 
Отметим сразу, что 
Возводя в квадрат, получим:
Получаем четыре точки на тригонометрическом круге: 
Условию 
удовлетворяют второе и третье семейство решений.
б) Заметим, что
и
поэтому на указанном промежутке лежат 
и 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 527316
а) б)
б) Классификатор алгебры: Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Формулы двойного угла
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:
и делят их в отношении 
а боковое ребро равно 60.
а сторону основания за 
Тогда площадь основания 
и объем всей призмы равен 
Отметим, что 
отрезок от ее основания до M будет равен 
поскольку 
Значит, по теореме Пифагора 
Аналогично 
и 
Поскольку 
треугольник MNP прямоугольный по обратной теореме Пифагора. 
Первое условие дает 
то есть 
или 
Второе условие дает 
Третье выполнено автоматически, поскольку 
или 
Поэтому все вместе они задают такую область определения неравенства — 
При таких x преобразуем неравенство:
Длины оснований BC и AD относятся как 
Через точку N и вершину D проведена прямая, пересекающая боковую сторону AB в точке M. 
поэтому 
По теореме Менелая для треугольника CAB и прямой NMT имеем: 
откуда 
поэтому:
и 
следует, что и их высоты относятся так же. С другой стороны, в каждой паре треугольников сумма высот дает высоту трапеции, поэтому 
Значит, треугольники DNH и DMS подобны с коэффициентом 
Тогда 
и 
б) 1.
рублей. 
рублей.
рублей.
рублей.
рублей.
и домножая на 
получим:
на промежутке 
с выколотой точкой 
В ней она принимала бы значение 0, и больше нигде она это значение не принимает (
не входит в промежуток). Поэтому будем исследовать ее на всем отрезке 
но число 0 не возьмем в ответ.
и отрицательна на 
Значит, функция убывает на 
и возрастает на 
Итак, функция принимает значения из промежутка 
(напомним, что 
запрещено).
и 
(например, из пары чисел 3 и 5 за один ход можно получить либо числа 5 и 9, либо числа 9 и 9).
и 
поэтому как только оба числа в паре станут больше 35, дальше можно не перебирать.
или 
или 
и после еще одного хода числа превысят 35.
и 
после четного — 
Поскольку числа не равны и дают одинаковый остаток от деления на 4, разность между ними не меньше 4. Этого достичь можно. Первым ходом получим пару 
А затем с парой 
будет проделывать пары ходов 