Ре­ше­ние. а)  Обо­зна­чим и пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

По­сколь­ку   — это дей­стви­тель­но ко­рень. Имеем от­ку­да

б)  По­сколь­ку имеем:

Сле­до­ва­тель­но, на ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежит

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Пусть O  — точка пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей квад­ра­та ABCD. Тогда MO  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка SDB и, зна­чит, па­рал­лель­на SB. Тогда пря­мая SB па­рал­лель­на плос­ко­сти ACM, по­сколь­ку па­рал­лель­на не­ко­то­рой пря­мой, ле­жа­щей в плос­ко­сти ACM.

б)По­сколь­ку M  — се­ре­ди­на SD, имеем:

По тео­ре­ме о пло­ща­ди фи­гу­ры и пло­ща­ди про­ек­ции:

Тре­уголь­ник SDB  — пря­мо­уголь­ный с углом при вер­ши­не B, по­сколь­ку (пря­мая DO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC как диа­го­на­ли квад­ра­та, а про­ек­ция MO на плос­кость ос­но­ва­ния  — это MD, по­это­му пря­мая MO пер­пен­ди­ку­ляр­на пря­мой AC по тео­ре­ме о трех пер­пен­ди­ку­ля­рах).

Зна­чит, тогда и ответ

Ответ: б) 4.

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим тогда Не­ра­вен­ство при­мет вид

Пе­рейдём к ос­нов­ной пе­ре­мен­ной:

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Имеем: (вер­ти­каль­ные углы, опи­ра­ю­щи­е­ся на одну дугу, со­от­вет­ствен­ные), по­это­му тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум углам, угол K у них общий.

б)  Пусть тогда по­сколь­ку ме­ди­а­ны де­лят­ся точ­кой пе­ре­се­че­ния в от­но­ше­нии Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков AKB и BKM по­лу­ча­ем: то есть от­ку­да и

Ответ:

Ре­ше­ние. По­сколь­ку те­ле­ре­кла­ма стоит в 20 раз до­ро­же, но дает в 25 раз боль­ше сбыта, чем ра­дио­ре­кла­ма, те­ле­ре­кла­ма вы­год­нее. За­ка­зать ее боль­ше чем 10 минут не хва­тит денег, а ровно 10 нель­зя по усло­вию (тогда нет ра­дио­ре­кла­мы). С дру­гой сто­ро­ны, за­ка­зать 9 минут те­ле­ре­кла­мы и 20 минут ра­дио­ре­кла­мы на остав­ши­е­ся день­ги можно. Зна­чит, это и есть опи­маль­ное рас­пре­де­ле­ние средств.

Ответ: 900 дол­ла­ров на те­ле­ре­кла­му, 100 на ра­дио­ре­кла­му.

Ре­ше­ние. За­пи­шем си­сте­му как одно урав­не­ние про x и пре­об­ра­зу­ем его. Оно долж­но будет иметь не менее двух ре­ше­ний, по­сколь­ку каж­до­му зна­че­нию x со­от­вет­ству­ет ровно одно зна­че­ние y (по­лу­ча­е­мое, на­при­мер, под­ста­нов­кой в пер­вое урав­не­ние).

Обо­зна­чая по­лу­ча­ем урав­не­ние Но   — воз­рас­та­ю­щая функ­ция, по­это­му то есть Это урав­не­ние имеет не менее двух ре­ше­ний в слу­чае, когда его дис­кри­ми­нант по­ло­жи­те­лен. Зна­чит,

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Сред­ний из трех чле­нов ариф­ме­ти­че­ской про­грес­сии есть сред­нее ариф­ме­ти­че­ское край­них, а гео­мет­ри­че­ской  — сред­нее гео­мет­ри­че­ское. Но и не яв­ля­ют­ся це­лы­ми.

б)  Воз­мож­ны че­ты­ре слу­чая, какую про­грес­сию об­ра­зу­ют пер­вые три и по­след­ние три члена.

Если обе про­грес­сии ариф­ме­ти­че­ские, то это про­сто че­ты­рех­член­ная ариф­ме­ти­че­ская про­грес­сия с раз­но­стью Все ее члены не могут быть це­лы­ми.

Если обе про­грес­сии гео­мет­ри­че­ские, то это про­сто че­ты­рех­член­ная гео­мет­ри­че­ская про­грес­сия со зна­ме­на­те­лем Все ее члены не могут быть це­лы­ми.

Если пер­вые три числа об­ра­зу­ют ариф­ме­ти­че­скую про­грес­сию, а по­след­ние три гео­мет­ри­че­скую, то пер­вые три можно обо­зна­чить за 1, и из свой­ства гео­мет­ри­че­ской про­грес­сии по­лу­чить то есть Дис­кри­ми­нант этого урав­не­ния равен

и не яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, по­это­му его корни ир­ра­ци­о­наль­ны.

Ана­ло­гич­но, если пер­вые три числа дают гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию и равны 1, q, то мы по­лу­ча­ем урав­не­ние его дис­кри­ми­нант равен

и не яв­ля­ет­ся точ­ным квад­ра­том, по­это­му его корни ир­ра­ци­о­наль­ны.

в)  Да, на­при­мер 1,2,4,6, ... ,2046. Здесь пер­вые три числа дают гео­мет­ри­че­скую про­грес­сию, а все осталь­ные  — ариф­ме­ти­че­скую.

Ответ: а) нет; б) нет; в) да.