ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 527195 Добавить в вариант

Решите неравенство: $логарифм по основанию дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x плюс 4 конец дроби минус логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 4 конец дроби правая круглая скобка 3 больше 0.$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $t= логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 4 конец дроби ,$ тогда $t= логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка дробь: числитель: x минус 4, знаменатель: x плюс 4 конец дроби ,$ $логарифм по основанию левая круглая скобка дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 4 конец дроби правая круглая скобка 3= дробь: числитель: 1, знаменатель: t конец дроби .$ Неравенство примет вид

$t минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби t больше 0 равносильно дробь: числитель: левая круглая скобка t минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка t плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: t конец дроби больше 0 равносильно t принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка .$

Перейдём к основной переменной:

$логарифм по основанию 3 дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 4 конец дроби принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 1; бесконечность правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: x плюс 4, знаменатель: x минус 4 конец дроби принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; бесконечность правая круглая скобка равносильно$

$равносильно 1 плюс дробь: числитель: 8, знаменатель: x минус 4 конец дроби принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби ;1 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; бесконечность правая круглая скобка равносильно дробь: числитель: 8, знаменатель: x минус 4 конец дроби принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби ;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; бесконечность правая круглая скобка равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: x минус 4 конец дроби принадлежит левая круглая скобка минус дробь: числитель: 1, знаменатель: конец дроби 12;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби ; бесконечность правая круглая скобка равносильно x минус 4 принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 12 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;4 правая круглая скобка равносильно$

$равносильно x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;8 правая круглая скобка .$

Ответ: $x принадлежит левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 8 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 4;8 правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 242

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.4 Логарифмические неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь