Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д5 C1 № 527193

а) Решите уравнение  дробь, числитель — 4 косинус x минус 5, знаменатель — 2 косинус x минус 1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 косинус в степени 2 x минус косинус x =2.

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка минус 4 Пи ; минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим t= косинус x и преобразуем уравнение:

 дробь, числитель — 4t минус 5, знаменатель — 2t минус 1 плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — t(2t минус 1) =2 равносильно дробь, числитель — 4t в степени 2 минус 5t плюс 1, знаменатель — t(2t минус 1) =2 равносильно

 

 равносильно 4t в степени 2 минус 5t плюс 1=4t в степени 2 минус 2t равносильно t= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 .

Поскольку t не равно 0,  дробь, числитель — 1, знаменатель — 3  — это действительно корень. Имеем  косинус x= дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 , откуда x=\pm\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 плюс 2 Пи k.

б) Поскольку \arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая квадратная скобка , имеем:

 минус 4 Пи минус \arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 меньше минус 4 Пи меньше минус 4 Пи плюс \arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 меньше минус дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 2 меньше минус 2 Пи минус \arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 .

Следовательно, на указанном промежутке лежит  минус 4 Пи плюс \arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 .

 

Ответ: а) \left\{\pm\arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 плюс 2 Пи k:k принадлежит Z \}; б)  минус 4 Пи плюс \arccos дробь, числитель — 1, знаменатель — 3 .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 242.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Уравнения, рациональные относительно тригонометрических функций
Методы алгебры: Введение замены