Ре­ше­ние. После по­вы­ше­ния цены билет ста­нет сто­ить 15 + 0,2 · 15  =  18 руб­лей. Раз­де­лим 100 на 18:

Зна­чит, можно будет ку­пить 5 би­ле­тов.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Из диа­грам­мы видно, что сред­няя тем­пе­ра­ту­ра в Яро­слав­ле была от­ри­ца­тель­ной в те­че­ние пяти ме­ся­цев: в ян­ва­ре, фев­ра­ле, марте, но­яб­ре и де­каб­ре.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Сто­ро­на HG яв­ля­ет­ся сред­ней ли­ни­ей тре­уголь­ни­ка ADC, по­это­му она равна по­ло­ви­не диа­го­на­ли AC. Ана­ло­гич­но ЕF равна по­ло­ви­не AC, а сто­ро­ны FG и EH равны по­ло­ви­не диа­го­на­ли DB. Сле­до­ва­тель­но, пе­ри­метр че­ты­рех­уголь­ни­ка EFGH равен сумме диа­го­на­лей пря­мо­уголь­ни­ка. Тем самым, он равен 20.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим все ва­ри­ан­ты.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка A сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти пе­нобло­ков 2600 · 70  =  182 000 руб. и сто­и­мо­сти до­став­ки и равна 182 000 + 10 000  =  192 000 руб.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка Б сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти пе­нобло­ков 2800 · 70  =  196 000 руб. и сто­и­мо­сти до­став­ки и равна 196 000 + 8000  =  204 000 руб. Но так как сто­и­мость за­ка­за боль­ше 150 000 руб., то до­став­ка бес­плат­но. Таким об­ра­зом, сто­и­мость 196 000 руб.

При по­куп­ке у по­став­щи­ка В сто­и­мость за­ка­за скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти пе­нобло­ков 2700 · 70  =  189 000 руб. и сто­и­мо­сти до­став­ки и равна 189 000 + 8000  =  197 000 руб. Но так как сто­и­мость за­ка­за мень­ше 200 000 руб., то до­став­ка не бес­плат­но. Таким об­ра­зом, сто­и­мость за­ка­за 197 000 руб.

Сто­и­мость са­мо­го де­ше­во­го ва­ри­ан­та со­став­ля­ет 192 000 руб­лей.

Ответ: 192 000.

Ре­ше­ние. По­сле­до­ва­тель­но по­лу­ча­ем:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние.

Впи­сан­ный угол равен по­ло­ви­не цен­траль­но­го угла, опи­ра­ю­ще­го­ся на ту же хорду.

Зна­чит,

Ответ: 64.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку опре­де­ля­ем, что Тогда

Ответ: − 0,8.

Ре­ше­ние. Две из от­ме­чен­ных точек яв­ля­ют­ся точ­ка­ми экс­тре­му­ма функ­ции f(x). Это точки x₃ и x₆ (вы­де­ле­ны крас­ным). В них про­из­вод­ная функ­ции f(x) равна нулю.

В точ­ках x₁, x₂, x₇ и x₈ функ­ция f(x) воз­рас­та­ет (вы­де­ле­ны синим). В этих четырёх точ­ках про­из­вод­ная функ­ции f(x) по­ло­жи­тель­на.

В точ­ках x₄, x₅ и x₉ функ­ция f(x) убы­ва­ет (вы­де­ле­ны зе­ле­ным). В этих трёх точ­ках про­из­вод­ная функ­ции f(x) от­ри­ца­тель­на.

Ответ: 3.

Ре­ше­ние. Осе­вое се­че­ние ко­ну­са яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком, сто­ро­ны ко­то­ро­го яв­ля­ют­ся об­ра­зу­ю­щи­ми ко­ну­са, а ос­но­ва­ние  — диа­метр его ос­но­ва­ния. По­это­му для тре­уголь­ни­ка AMB имеем:

Ответ: 12.

Ре­ше­ние. Из 25 би­ле­тов 23 не со­дер­жат во­про­са о гри­бах, по­это­му ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку не до­ста­нет­ся во­про­са о гри­бах, равна

Ответ: 0,92.

Ре­ше­ние. Пусть объём пер­во­го ци­лин­дра равен объём вто­ро­го  — где R_{1, 2}  — ра­ди­у­сы ос­но­ва­ний ци­лин­дров, H_{1, 2}  — их вы­со­ты. По усло­вию Вы­ра­зим объём вто­ро­го ци­лин­дра через объём пер­во­го:

Ответ: 9.

Ре­ше­ние. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния м/с при из­вест­ных зна­че­ни­ях м/с (ско­ро­сти звука в воде) и МГц (ча­сто­ты ис­пус­ка­е­мых им­пуль­сов):

Ответ: 751.

Ре­ше­ние. Пусть x (км/⁠ч)  — соб­ствен­ная ско­рость ка­те­ра, (км/⁠ч)  — ско­рость те­че­ния реки вес­ной. Тогда летом она со­ста­вит (км/⁠ч); Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

	Ско­рость вес­ной	Ско­рость летом
По те­че­нию
Про­тив те­че­ния

Решим си­сте­му урав­не­ний:

Таким об­ра­зом, ско­рость те­че­ния вес­ной равна 5 км/⁠ч.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при по­ло­жи­тель­ных зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, от­ри­ца­тель­на при от­ри­ца­тель­ных и равна нулю в точке 0. По­это­му на луче (−∞; 0] функ­ция убы­ва­ет, а на луче [0; +∞)  — воз­рас­та­ет. Тем самым, за­дан­ная функ­ция до­сти­га­ет наи­мень­ше­го зна­че­ния в точке 0. Найдём его:

Ответ: −1.

Ре­ше­ние. а)  Так как и имеем:

Корни урав­не­ния:

б)  Корни урав­не­ния изоб­ра­жа­ют­ся точ­ка­ми A и B, а корни урав­не­ния   — точ­ка­ми C и D, про­ме­жу­ток изоб­ра­жа­ет­ся жир­ной дугой (см. рис.). В ука­зан­ном про­ме­жут­ке со­дер­жат­ся три корня урав­не­ния: и

Ответ: а) б)

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 500815

Ре­ше­ние.

а)  Се­че­ние плос­ко­стью пе­ре­се­ка­ет ребро в точке От­ре­зок AP па­рал­ле­лен от­ре­зок па­рал­ле­лен Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое се­че­ние  — па­рал­ле­ло­грамм (рис. 1). Далее имеем:

Зна­чит,   — ромб.

б)  Най­дем диа­го­на­ли ромба :

Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство. За­пи­шем его в виде

Сде­лав за­ме­ну по­лу­чим квад­рат­ное не­ра­вен­ство:

Зна­чит, от­ку­да

Решим вто­рое не­ра­вен­ство:

Ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся общая часть ре­ше­ний двух не­ра­венств. Срав­ним и

По­это­му ре­ше­ни­ем си­сте­мы яв­ля­ет­ся по­лу­ин­тер­вал:

Ответ:

Ре­ше­ние. За­да­ние а). Обо­зна­чим цен­тры окруж­но­стей и со­от­вет­ствен­но. Пусть общая ка­са­тель­ная, про­ведённая к окруж­но­стям в точке K, пе­ре­се­ка­ет AB в точке По свой­ству ка­са­тель­ных, про­ведённых из одной точки, и. Тре­уголь­ник AKB, у ко­то­ро­го ме­ди­а­на равна по­ло­ви­не сто­ро­ны, к ко­то­рой она про­ве­де­на,  — пря­мо­уголь­ный.

Впи­сан­ный угол пря­мой, по­это­му он опи­ра­ет­ся на диа­метр Зна­чит, Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем, что Сле­до­ва­тель­но, пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

За­да­ние б). Пусть, для опре­де­лен­но­сти, пер­вая окруж­ность имеет ра­ди­ус 4, а ра­ди­ус вто­рой равен 1.

Тре­уголь­ни­ки BKC и AKD по­доб­ны, Пусть тогда

У тре­уголь­ни­ков общая вы­со­та, сле­до­ва­тель­но, то есть Ана­ло­гич­но, Пло­щадь тра­пе­ции ABCD равна

Вы­чис­лим пло­щадь тра­пе­ции Про­ведём к AD пер­пен­ди­ку­ляр рав­ный вы­со­те тра­пе­ции, и найдём его из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Тогда

Сле­до­ва­тель­но, от­ку­да и

Ответ: 3,2.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 501887.

Ре­ше­ние. При по­лу­ча­ем, что Гра­фик этой функ­ции на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке со­сто­ит из двух ча­стей па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх, и осью сим­мет­рии При на­хо­дим а гра­фик этой функ­ции на рас­смат­ри­ва­е­мом про­ме­жут­ке  — часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз.

Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции может при­нять толь­ко в точ­ках или По­это­му наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше 1 тогда и толь­ко тогда, когда:

Если то вто­рое не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид от­ку­да Этот про­ме­жу­ток со­дер­жит ин­тер­вал

Если то от­ку­да Зна­чит,

Объ­еди­няя най­ден­ные про­ме­жут­ки, по­лу­ча­ем:

Ответ:

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

1.  При функ­ция при­ни­ма­ет вид: а ее гра­фик есть две части па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вверх и осью сим­мет­рии

При функ­ция при­ни­ма­ет вид: а ее гра­фик есть часть па­ра­бо­лы с вет­вя­ми, на­прав­лен­ны­ми вниз и осью сим­мет­рии

Воз­мож­ные виды гра­фи­ка функ­ции по­ка­за­ны на ри­сун­ках.

2.  Наи­мень­шее зна­че­ние функ­ция может при­ни­мать толь­ко в точ­ках или а если (то есть при ), то в точке

3.  Сле­до­ва­тель­но, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции боль­ше тогда и толь­ко тогда, когда:

Ответ:

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 503150.

Ре­ше­ние. Пусть среди на­пи­сан­ных чисел k по­ло­жи­тель­ных, l от­ри­ца­тель­ных и m нулей. Сумма на­бо­ра чисел равна ко­ли­че­ству чисел в этом на­бо­ре, умно­жен­но­му на его сред­нее ариф­ме­ти­че­ское, по­это­му

а)  За­ме­тим, что в левой части при­ве­ден­но­го выше ра­вен­ства каж­дое сла­га­е­мое де­лит­ся на 4, по­это­му   — ко­ли­че­ство целых чисел  — де­лит­ся на 4. По усло­вию по­это­му Таким об­ра­зом, на­пи­са­но 44 числа.

б)  При­ве­дем ра­вен­ство к виду По­сколь­ку по­лу­ча­ем, что от­ку­да Сле­до­ва­тель­но, от­ри­ца­тель­ных чисел боль­ше, чем по­ло­жи­тель­ных.

в_{оцен­ка}) Под­ста­вим в пра­вую часть ра­вен­ства от­ку­да По­сколь­ку по­лу­ча­ем: то есть по­ло­жи­тель­ных чисел не более 17.

в_{при­мер}) При­ве­дем при­мер, когда по­ло­жи­тель­ных чисел ровно 17. Пусть на доске 17 раз на­пи­са­но число 4, 25 раз на­пи­са­но число −8 и два раза на­пи­сан 0. Тогда ука­зан­ный набор удо­вле­тво­ря­ет всем усло­ви­ям за­да­чи.

Ответ: а)  44; б)  от­ри­ца­тель­ных; в)  17.