Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ABCDA_1B_1C_1D_1, из­вест­ны рёбра: AB  =  3, AD  =  2, AA1  =  5. Точка O при­над­ле­жит ребру BB1 и делит его в от­но­ше­нии 2 : 3, счи­тая от вер­ши­ны B.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние этого па­рал­ле­ле­пи­пе­да плос­ко­стью, про­хо­дя­щей через точки A, O и C1, яв­ля­ет­ся ром­бом.

б)  Най­ди­те пло­щадь этого се­че­ния.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Се­че­ние плос­ко­стью AOC_1 пе­ре­се­ка­ет ребро DD_1 в точке P. От­ре­зок AP па­рал­ле­лен C_1O, от­ре­зок C_1P па­рал­ле­лен AO. Сле­до­ва­тель­но, ис­ко­мое се­че­ние  — па­рал­ле­ло­грамм AOC_1P (рис. 1). Далее имеем:

BO= дробь: чис­ли­тель: 2, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби BB_1=2,B_1O=3,

C_1O= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: C_1B_1 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те плюс B_1O в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 плюс 9 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та ,

AO= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс BO в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 4 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 13 конец ар­гу­мен­та .

Зна­чит, AOC_1P  — ромб.

б)  Най­дем диа­го­на­ли ромба AOC_1P:

AC_1= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AB в квад­ра­те плюс BC в квад­ра­те плюс CC_1 конец ар­гу­мен­та в квад­ра­те = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 9 плюс 4 плюс 25 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 38 конец ар­гу­мен­та ,

OP=2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: AO в квад­ра­те минус дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 4 конец дроби AC_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4AO в квад­ра­те минус AC_1 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 4 умно­жить на 13 минус 38 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та .

Пло­щадь ромба равна по­ло­ви­не про­из­ве­де­ния его диа­го­на­лей. По­это­му

S_AOC_1P= дробь: чис­ли­тель: AC_1 умно­жить на OP, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 38 конец ар­гу­мен­та умно­жить на ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 14 конец ар­гу­мен­та = ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 133 конец ар­гу­мен­та .

 

 

Ответ: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 133 конец ар­гу­мен­та .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б)3
По­лу­чен обос­но­ван­ный ответ в пунк­те б)

ИЛИ

име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а), и при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки

2
Име­ет­ся вер­ное до­ка­за­тель­ство утвер­жде­ния пунк­та а),

ИЛИ

при обос­но­ван­ном ре­ше­нии пунк­та б) по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки,

ИЛИ

обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в пунк­те б) с ис­поль­зо­ва­ни­ем утвер­жде­ния пунк­та а), при этом пункт а) не вы­пол­нен

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, при­ведённых выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: Про­ект де­мон­стра­ци­он­ной вер­сии ЕГЭ—2014 по ма­те­ма­ти­ке
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025