Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C.
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Задание а). Обозначим центры окружностей
и 
соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке 
По свойству касательных, проведённых из одной точки, 
и. 
Треугольник AKB, у которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, — прямоугольный.
Вписанный угол 
прямой, поэтому он опирается на диаметр 
Значит, 
Аналогично получаем, что 
Следовательно, прямые AD и BC параллельны.
Задание б). Пусть, для определенности, первая окружность имеет радиус 4, а радиус второй равен 1.
Треугольники BKC и AKD подобны, 
Пусть 
тогда 
У треугольников 
общая высота, следовательно, 
то есть 
Аналогично, 
Площадь трапеции ABCD равна 
Вычислим площадь трапеции 
Проведём к AD перпендикуляр 
равный высоте трапеции, и найдём его из прямоугольного треугольника 
Тогда
Следовательно, 
откуда 
и 
Ответ: 3,2.
----------
Дублирует задание 501887.