1. Тип 13 № 526324 
Источники:
Классификатор алгебры: Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус
Методы алгебры: Введение замены, Формулы приведения, Формулы приведения, периодичность тригонометрических функций
Уравнения. Тригонометрические уравнения, сводимые к квадратным
i
а) Решите уравнение 
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Воспользуемся формулой приведения: 
Пусть 
Тогда получаем:
Вернёмся к исходной переменной:
б) С помощью числовой окружности отберём корни уравнения, принадлежащие отрезку Получим числа 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 526324
а) б)
б) 
а боковое ребро 
На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём 
Плоскость 
содержит прямую KM и параллельна SA.
Из равенства 
следует, что PK и CB параллельны. 
Проведём высоту треугольника НT и найдем её. Пусть 
тогда 
тогда, применяя теорему Пифагора, из треугольников AHT и SHT получаем: 
Треугольники QHR и SHA также подобны, а тогда плоскость сечения делит высоту HT в том же отношении 1 : 2, считая от точки T. Следовательно, 
: 
Тогда 
и 
(опираются на одну дугу). Имеем: 
Но также 
как внешний угол. Откуда следует требуемое равенство: 
как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник APC — равносторонний, его площадь равна 
Следовательно, искомая площадь 
откуда 
(млн руб).
и прямой 
найдём из уравнения 
Получаем 
или 
найдём из уравнения 
Получаем 
), b овощей весят 1000 г (их суммарная масса 
), c овощей легче 1000 г (их суммарная масса 
). Тогда условие записывается системой:
и 
Из системы имеем: 
Противоречие с условием, что в ящике есть хотя бы два овоща различной массы
Тогда из системы имеем: 
и 
откуда 
Но тогда a — нецелое число. Противоречие.
получаем 
Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное 
уравнение 
Но 
откуда 
(т. к. числа натуральные). Поэтому из того, что овощей 68, получаем оценку 
Если 
то 
Откуда 
то наши уравнения имеют решение: 
откуда 
(иначе будет противоречие с необходимым неравенством, полученным выше). Пример следует из решения: один овощ массой 229 г., тринадцать овощей массой 999 г., пять овощей массой 1000 г. и сорок девять овощей массой 1016 г.