РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 24571729

Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Санкт-Петербург

а)  Решите уравнение $8 синус в квадрате x минус 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента косинус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби минус x правая круглая скобка минус 9=0.$

б)  Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: 5 Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; минус Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б).	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 9, а боковое ребро SA  =  6. На рёбрах AB и SC отмечены точки K и M соответственно, причём AK : KB  =  SM : MC  =  2 : 7. Плоскость α содержит прямую KM и параллельна прямой SA.

а)  Докажите, что плоскость α делит ребро SB в отношении 2 : 7, считая от вершины S.

б)  Найдите расстояние между прямыми SA и KM.

Решение. а)  Пусть плоскость пересекает ребро SB в точке N. Поскольку плоскость α параллельна ребру SA, она пересекает грань SBA по прямой, параллельной SA. Таким образом, прямые KN и SA параллельны, треугольники NBK и SBA подобны, а $SN:NB=AK:KB =2:7,$ что и требовалось доказать.

б)  Пусть плоскость сечения пересекает ребро АС в точке L. Аналогично пункту а) из подобия треугольников MCL и SCA находим, что $AL:LC = SM:MC = 2:7.$ Из равенства $AL:LC = AK:KB$ следует, что LK и CB параллельны.

Проведём SH и АH, и пусть плоскость SHА пересекает α по прямой QR (см. рис.), причем QR || SA, поскольку плоскость α параллельна SA.

Проведем в плоскости SHА перпендикуляр RP к прямой SA. Прямая RP ⊥ QR, поскольку QR || SA. Прямая RP ⊥ LK, поскольку ее проекция RA ⊥ LK. Следовательно, прямая RP перпендикулярна плоскости α, тогда RP  — расстояние от прямой SA до плоскости α. Это расстояние равно расстоянию между скрещивающимися прямыми SA и KM.

Заметим, что AR : RH  =  AK : KB  =  2 : 7, поскольку прямые LK и CB параллельны.

Тогда $AR= дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби AH= дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби умножить на 9 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Заметим, что $RP=RA синус \angle SAO,$ где O  — основание высоты пирамиды, тогда

$RP=AR умножить на дробь: числитель: SO, знаменатель: SA конец дроби =AR умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: SA в квадрате минус AO в квадрате конец аргумента , знаменатель: SA конец дроби = корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 6 в квадрате минус левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка в квадрате конец аргумента , знаменатель: 6 конец дроби = дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Ответ: б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

Решите неравенство $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 14 минус 14x правая круглая скобка больше или равно логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x в квадрате минус 5x плюс 4 правая круглая скобка плюс логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 5 правая круглая скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Обоснованно получен ответ, отличающийся от верного исключением точек, ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

Точка O  — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Прямая OB вторично пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке P.

а)  Докажите, что $\angle POC=\angle PCO.$

б)  Найдите площадь треугольника APC, если радиус описанной около треугольника ABC окружности равен 4, а $\angle ABC = 120 градусов.$

Решение. а)  Пусть O  — центр вписанной окружности, следовательно, BO и CO  — биссектрисы. Обозначим углы $\Delta ABC$ : $\angle B=2 бета ,$ $\angle C=2 гамма .$ Тогда $\angle ABP=\angle PBC= бета ,$ $\angle ABP=\angle ACP$ и $\angle CBP=\angle CAP$ (опираются на одну дугу). Имеем: $\angle OCP= гамма плюс бета .$ Но также $\angle POC= гамма плюс бета$ как внешний угол. Откуда следует требуемое равенство: $\angle POC=\angle PCO.$

б)   Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна  180^o, следовательно, $\angle APC=60 градусов,$ $AP=PC,$ как хорды, стягивающие равные дуги. Следовательно, треугольник APC равносторонний, его площадь равна $S= дробь: числитель: AC в квадрате корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби .$

По теореме синусов $AC=2R синус \widehatABC= 8 умножить на дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби =4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$ Следовательно, искомая площадь $S = дробь: числитель: 48 умножить на корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 4 конец дроби = 12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Ответ: б) $12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$

Примечание Дмитрия Гущина.

Ученик, занимавшийся в математическом кружке или посещавший факультатив, узнает в этой задаче ЕГЭ-⁠2019 стандартную конструкцию. Напомним (см. Лемму о трезубце), что:

1.  Биссектриса угла треугольника делит пополам угол между радиусом описанной окружности и высотой, проведённой из вершины того же угла.

2.  Точка пересечения биссектрисы угла треугольника с серединным перпендикуляром к противоположной стороне лежит на описанной окружности данного треугольника. Эта точка равноудалена от центра вписанной окружности, а также двух вершин треугольника и центра вневписанной окружности, противолежащих данному углу треугольника.

В нашем случае эта точка  — точка Р, тогда треугольник OPC равнобедренный, что сразу же доказывает пункт  а). Пункт б): треугольник APC равнобедренный, и поскольку угол Р в нем равен 60°, то и равносторонний.

Ещё несколько задач на этот сюжет можно посмотреть здесь.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)	3
Получен обоснованный ответ в пункте б) ИЛИ имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а) ИЛИ при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, ИЛИ обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше	0
Максимальный балл	3

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 3 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

  — каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

  — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;

  — в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 0,24 млн рублей? (Считайте, что округления при вычислении платежей не производятся).

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

$дробь: числитель: x в квадрате минус 4x плюс a, знаменатель: 5x в квадрате минус 6ax плюс a в квадрате конец дроби =0$

имеет ровно два различных решения.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
С помощью верного рассуждения получено множество значений параметра, отличающееся от исходного только включением точки 4	3
Верно рассмотрен хотя бы один из случаев и получено множество значений параметра, отличающееся от искомого только включением точек −5; 3 и/или 4 ИЛИ Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом выполнены все шаги решения	2
Задача сведена к исследованию: взаимного расположения параболы и прямых (аналитически или графически)	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

В ящике лежат 73 овоща, масса каждого из которых выражается целым числом граммов. В ящике есть хотя бы два овоща различной массы, а средняя масса всех овощей равна 1000 г. Средняя масса овощей , масса каждого из которых меньше 1000 г, равна 988 г. Средняя масса овощей, масса каждого из которых больше 1000 г, равна 1030 г.

а)  Могло ли в ящике оказаться поровну овощей массой меньше 1000 г и овощей массой больше 1000 г?

б)  Могло ли в ящике оказаться ровно 11 овощей, масса каждого из которых равна 1000 г?

в)  Какую наименьшую массу может иметь овощ в этом ящике?

Решение. Пусть всего a овощей тяжелее 1000 г (а их суммарная масса $S_1$ ), b овощей весят 1000 г (их суммарная масса $S_2$ ), c овощей легче 1000 г (их суммарная масса $S_3$ ). Тогда условие записывается системой:

$система выражений a плюс b плюс c=73, S_1 плюс S_2 плюс S_3=73000, S_1=1030a, S_2=1000b, S_3=988c. конец системы .$

а)  В этом случае $a=c$ и $b=73 минус 2a.$ Из системы имеем: $1030a плюс 1000 умножить на левая круглая скобка 73 минус 2a правая круглая скобка плюс 988a=73000,$ откуда $a=0.$ Противоречие с условием, так как овощи тяжелее килограмма, есть, поскольку их средняя масса 1030 г.

б)  В этом случае $b=11.$ Тогда из системы имеем: $11 плюс a плюс c=73$ и $1030a плюс 11000 плюс 988c=73000,$ откуда $21a=372.$ Но тогда a  — нецелое число. Противоречие.

в)  Пусть x  — масса самого легкого овоща. Тогда средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит

$дробь: числитель: x плюс 999 умножить на левая круглая скобка c минус 1 правая круглая скобка , знаменатель: c конец дроби =999 минус дробь: числитель: 999 минус x, знаменатель: c конец дроби .$

Это выражение должно быть не меньше 988. Решая неравенство $999 минус дробь: числитель: 999 минус x, знаменатель: c конец дроби больше или равно 988 ,$ получаем $x больше или равно 999 минус 11c.$ Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное $c.$

Из уравнения $1030a плюс 1000b плюс 988c=73000$ следует, что $с$ кратно 5. Кроме того, c меньше 73. Максимальное c, при котором уравнение имеет натуральные решения (b может равняться и 0), это $c=50$ $левая круглая скобка a=20, b=3 правая круглая скобка .$ Необходимо убедиться, что c не может равняться 70, 65, 60 и 55. Подставляя эти значения c в уравнение, мы получим, что $103a плюс 100b$ может равняться 384, 878, 1372, 1866. Покажем, что эти уравнения не имеют решений в целых неотрицательных числах. Действительно, пусть, например, $103a плюс 100b=384.$ Это означает, что $3a минус 84=100 умножить на левая круглая скобка 3 минус a минус b правая круглая скобка .$ То есть $3a минус 84$ кратно 100. Аналогично, $3a минус 78, 3a минус 72, 3a минус 66$ кратны 100. Это означает, что a в этих случаях как минимум 22, но тогда b, очевидно, отрицательно.

Тогда минимальное возможное x получается из уравнения $x = 999 минус 11c,$ откуда $x=449$ (иначе будет противоречие с необходимым неравенством, полученным выше). Пример следует из решения: один овощ массой 449 г, сорок девять овощей массой 999 г, три овоща массой 1000 г и двадцать овощей массой 1030 г.

Ответ: а)  нет; б)  нет; в)  449.

Приведем решение, предложенное Никитой Фединым.

Пусть всего a овощей тяжелее 1000 г, b овощей весят по 1000 г, c овощей легче 1000 г. Тогда

$1030a плюс 1000b плюс 988c=1000 левая круглая скобка a плюс b плюс c правая круглая скобка ,$

откуда $a=0,4c.$

а)  Если в ящике равное количество овощей массой меньше 1000 г и массой больше 1000 г, то $a=c.$ C учетом равенства $a=0,4c,$ это может быть только при $a=c=0,$ что противоречит условию задачи. Поэтому ответ  — нет.

б)  Допустим, в ящике ровно 11 овощей массой 1000 г, тогда $a плюс c=73 минус 11=62.$ Подставив $a=0,4c,$ получим $1,4c=62.$ Данное уравнение не имеет решений в натуральных числах, поэтому в ящике не может быть ровно 11 овощей весом 1000 г.

в)  Пусть x  — масса самого легкого овоща. Тогда средняя масса овощей, которые легче 1000 г, не превосходит

Это выражение должно быть не меньше 988. Решая неравенство $999 минус дробь: числитель: 999 минус x, знаменатель: c конец дроби больше или равно 988 ,$ получаем, что $x больше или равно 999 минус 11c.$ Следовательно, чтобы найти минимальное возможное x, надо найти максимально возможное c. По условию задачи $a плюс b плюс c = 73,$ тогда $a плюс c меньше или равно 73,$ следовательно, $1,4c меньше или равно 73 равносильно c меньше или равно 52.$ Значение c должно быть кратным 5, чтобы значение $a=0,4c$ было целым. Поэтому $c=50.$

Минимальное возможное x получим из уравнения $x = 999 минус 11c,$ откуда $x=449.$ Пример следует из решения: один овощ массой 449 г, сорок девять овощей массой 999 г, три овоща массой 1000 г и двадцать овощей массой 1030 г.

№ п/п	№ задания	Ответ
1	526289	а) $левая фигурная скобка минус дробь: числитель: 2 Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k, минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 3 конец дроби плюс 2 Пи k:k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $минус дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 3 конец дроби .$
2	526290	б) $дробь: числитель: корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента , знаменатель: 2 конец дроби .$
3	526291	$левая круглая скобка минус 5; минус 3 правая квадратная скобка$
4	526292	б) $12 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
5	526293	7,8 млн руб.
6	526294	$левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 5 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус 5; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 3; 4 правая круглая скобка .$
7	526295	а)  нет; б)  нет; в)  449.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один из следующих результатов: ―  пример в п. а; ―  обоснованное решение п. б; ―  обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); ―  обоснование в п. в того, что равенства S  =  −1 и S  =  1 невозможны	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Основная волна ЕГЭ по математике 29.05.2019. Санкт-Петербург

Ключ