Ре­ше­ние. На 166 че­ло­век на 1 день по­ла­га­ет­ся 166 · 40  =  6640 г са­ха­ра, на 5 дней  — 6640 · 5  =  33 200 г. Раз­де­лим 33 200 г на 1000 г в одной упа­ков­ке:

Ответ: 34.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 24381.

Ре­ше­ние. Из гра­фи­ка видно, что было 5 ме­ся­цев, когда сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра не пре­вы­ша­ла 4 гра­ду­сов Цель­сия (см. рис.).

Ответ: 5.

Ре­ше­ние. Для того чтобы окруж­ность ка­са­лась оси абс­цисс, не­об­хо­ди­мо, чтобы ра­ди­ус окруж­но­сти был равен 6.

Ответ: 6.

При­ме­ча­ние.

По опре­де­ле­нию, рас­сто­я­ние от точки до оси абс­цисс опре­де­ля­ет­ся ее ор­ди­на­той, а рас­сто­я­ние точки до оси ор­ди­нат опре­де­ля­ет­ся ее абс­цис­сой.

----------

Дуб­ли­ру­ет за­да­ние 59475.

Ре­ше­ние. Рас­смот­рим два ва­ри­ан­та.

Сто­и­мость ка­мен­но­го фун­да­мен­та скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти камня 9 · 1600  =  14 400 руб., а также сто­и­мо­сти це­мен­та 9 · 230  =  2070 руб. и со­став­ля­ет 2070 + 14 400  =  16 470 руб.

Сто­и­мость бе­тон­но­го фун­да­мен­та скла­ды­ва­ет­ся из сто­и­мо­сти це­мен­та 50 · 230  =  11 500 руб., а также сто­и­мо­сти щебня 7 · 780  =  5460 руб. и со­став­ля­ет 5460 + 11 500  =  16 960 руб.

Сто­и­мость са­мо­го де­ше­во­го ва­ри­ан­та со­став­ля­ет 16 470 руб.

Ответ: 16 470.

Ре­ше­ние. Ис­поль­зуя фор­му­лу по­лу­ча­ем:

Ответ: 6.

При­ме­ча­ние.

Сле­ду­ет от­ли­чать это урав­не­ние от по­хо­же­го, но дру­го­го: В этом слу­чае имеем:

Ре­ше­ние.

Сумма углов B и C равна 180°, по­это­му угол С равен 58°. Диа­го­наль ромба AC яв­ля­ет­ся бис­сек­три­сой угла С, по­это­му ис­ко­мый угол ACD равен 29°.

Ответ: 29.

Ре­ше­ние.

Ответ: 3,5.

Ре­ше­ние. По опре­де­ле­нию пер­во­об­раз­ной на ин­тер­ва­ле (−3; 5) спра­вед­ли­во ра­вен­ство

Сле­до­ва­тель­но, ре­ше­ни­я­ми урав­не­ния f(x)  =  0 яв­ля­ют­ся точки экс­тре­му­мов изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке функ­ции F(x). На ри­сун­ке точки, в ко­то­рых вы­де­ле­ны крас­ным и синим цве­том. Из них на от­рез­ке [−2; 4] лежат 10 точек (синие точки). Таким об­ра­зом, на от­рез­ке [−2; 4] урав­не­ние имеет 10 ре­ше­ний.

Ответ: 10.

Ре­ше­ние. По по­стро­е­нию ра­ди­у­сы шара и ос­но­ва­ния ци­лин­дра равны. Пло­щадь по­верх­но­сти ци­лин­дра, с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния r и вы­со­той 2r равна

Пло­щадь по­верх­но­сти шара ра­ди­у­са r равна то есть в 1,5 раза мень­ше пло­ща­ди по­верх­но­сти ци­лин­дра. Сле­до­ва­тель­но, пло­щадь по­верх­но­сти шара равна 74.

Ответ: 74.

Ре­ше­ние. На ци­фер­бла­те между де­ся­тью ча­са­ми и одним часом три ча­со­вых де­ле­ния. Всего на ци­фер­бла­те 12 ча­со­вых де­ле­ний. По­это­му ис­ко­мая ве­ро­ят­ность равна:

Ответ: 0,25.

Ре­ше­ние. По­сколь­ку ребро куба равно 6, его объем равен Вы­со­та куба равна вы­со­те приз­мы, их объ­е­мы про­пор­ци­о­наль­ны пло­ща­дям их ос­но­ва­ний, а пло­щадь ос­но­ва­ния по­стро­ен­ной приз­мы в 8 раз мень­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния ис­ход­ной, по­это­му ис­ко­мый объем приз­мы равен 216 : 8  =  27.

Ответ: 27.

Ре­ше­ние. Найдём, при каком уско­ре­нии гон­щик до­стиг­нет тре­бу­е­мой ско­ро­сти, про­ехав один ки­ло­метр. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию урав­не­ния при из­вест­ном зна­че­нии длины пути км:

Если его уско­ре­ние будет пре­вос­хо­дить най­ден­ное, то, про­ехав один ки­ло­метр, гон­щик наберёт боль­шую ско­рость, по­это­му наи­мень­шее не­об­хо­ди­мое уско­ре­ние равно 5000 км/⁠ч².

Ответ: 5000.

Ре­ше­ние. Ско­рость сбли­же­ния по­ез­дов равна 60 км/ч, или 1 км/мин. Сле­до­ва­тель­но, за 1 ми­ну­ту пас­са­жир­ский поезд сме­стит­ся от­но­си­тель­но то­вар­но­го на 1 км. При этом он пре­одо­ле­ет рас­сто­я­ние, рав­ное сумме длин по­ез­дов. По­это­му длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да равна

Ответ: 400.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

Ско­рость сбли­же­ния по­ез­дов равна

Пусть длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да равна х мет­рам. За 60 се­кунд один поезд про­хо­дит мимо дру­го­го, то есть пре­одо­ле­ва­ет рас­сто­я­ние Тогда:

По­это­му длина пас­са­жир­ско­го по­ез­да  — 400 м.

Ре­ше­ние. За­ме­тим, что об­ласть опре­де­ле­ния функ­ции  — от­кры­тый луч Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции: Най­дем нули про­из­вод­ной:

Най­ден­ная точка лежит на луче Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим по­ве­де­ние функ­ции (см. рис.). Итак, ис­ко­мая точка мак­си­му­ма  — точка x  =  –6.

Ответ: − 6.

Ре­ше­ние. а)  Об­ласть опре­де­ле­ния дан­но­го урав­не­ния за­да­ет­ся усло­ви­ем

При этом усло­вии имеем: от­ку­да или

Корни урав­не­ния не удо­вле­тво­ря­ют усло­вию а из урав­не­ния по­лу­ча­ем

б)  Из най­ден­ных ре­ше­ний про­ме­жут­ку при­над­ле­жат числа

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние.

а)  Опу­стим из точки пер­пен­ди­ку­ляр на пря­мую Так как то а, зна­чит, от­ре­зок ― вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка В то же время   — катет этого тре­уголь­ни­ка, по­это­му

б)  От­ре­зок ― вы­со­та пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка от­ку­да Далее на­хо­дим:

Ответ:

Ре­ше­ние. Решим пер­вое не­ра­вен­ство си­сте­мы.

Пусть тогда дан­ное не­ра­вен­ство при­ни­ма­ет вид

Учи­ты­вая усло­вие по­лу­ча­ем

Далее имеем:

1)  

2)  

Ре­ше­ния пер­во­го не­ра­вен­ства си­сте­мы:

Решим те­перь вто­рое не­ра­вен­ство си­сте­мы.

За­ме­тим, что при и ис­ход­ное не­ра­вен­ство рав­но­силь­но не­ра­вен­ству

По­ло­жив в по­след­нем не­ра­вен­стве по­лу­ча­ем

Далее имеем:

Учи­ты­вая то, что по­лу­ча­ем ре­ше­ния вто­ро­го не­ра­вен­ства:

При­ни­мая во вни­ма­ние, что на­хо­дим ре­ше­ние дан­ной си­сте­мы.

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть точки O и P ― цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки KMH и MNH со­от­вет­ствен­но, R и r ― ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, а точки E и F ― точки, в ко­то­рых окруж­но­сти ка­са­ют­ся от­рез­ка MH. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KMH и MNH на­хо­дим:

Опу­стим из точки O пер­пен­ди­ку­ляр OQ на пря­мую FP (см. рис. 1, 2). Ис­ко­мое рас­сто­я­ние OP на­хо­дим из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка

Пер­вый слу­чай. Точка H лежит между точ­ка­ми K и N, см. рис. 1.

Вто­рой слу­чай. Точка N лежит между точ­ка­ми K и H, см. рис. 2.

Ответ: или

Ре­ше­ние. Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Не­ра­вен­ство за­да­ет на ко­ор­ди­нат­ной плос­ко­сти «верх­нюю» по­лу­плос­кость с гра­ни­цей а урав­не­ние при  ― окруж­ность с цен­тром и ра­ди­у­сом (см. рис.).

Окруж­ность и по­лу­плос­кость имеют ровно одну общую точку тогда и толь­ко тогда, когда ра­ди­ус окруж­но­сти равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли PO квад­ра­та APBO, т. е., от­ку­да

При урав­не­ние, а, сле­до­ва­тель­но, и вся си­сте­ма ре­ше­ний не имеют, а при ре­ше­ни­ем урав­не­ния яв­ля­ет­ся пара ко­то­рая не удо­вле­тво­ря­ет не­ра­вен­ству

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Так как пе­ри­метр равен 200, то сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 100. Из­вест­но, что наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка при фик­си­ро­ван­ном пе­ри­мет­ре до­сти­га­ет­ся в том слу­чае, если он яв­ля­ет­ся квад­ра­том. Таким об­ра­зом, его сто­ро­ны долж­ны быть равны 50, что не про­ти­во­ре­чит усло­вию (длины обеих сто­рон на­ту­раль­ные числа, длина одной сто­ро­ны равна 100% от длины дру­гой). Зна­чит, наи­боль­шее зна­че­ние пло­ща­ди пря­мо­уголь­ни­ка равно 2500.

б)  Пусть мень­шая сто­ро­на пря­мо­уголь­ни­ка (или рав­ная дру­гой сто­ро­не, если это квад­рат) равна тогда дру­гая сто­ро­на равна В этом слу­чае пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна Гра­фи­ком дан­ной функ­ции яв­ля­ет­ся па­ра­бо­ла, ветви ко­то­рой на­прав­ле­ны вниз, а число x не пре­вос­хо­дит абс­цис­сы вер­ши­ны па­ра­бо­лы. Сле­до­ва­тель­но, зна­че­ние функ­ции будет тем мень­ше, чем даль­ше на­хо­дит­ся число x от абс­цис­сы вер­ши­ны. Таким об­ра­зом, наи­мень­шее зна­че­ние функ­ции до­сти­га­ет­ся при а тогда пло­щадь равна 99. В этом слу­чае усло­вие также со­блю­да­ет­ся, так как число 99 равно 9900% от числа 1.

в)  Пусть a ― это сто­ро­на, n% от ко­то­рой равны дру­гой сто­ро­не. Тогда дру­гая сто­ро­на равна По­сколь­ку сумма смеж­ных сто­рон пря­мо­уголь­ни­ка равна 100, по­лу­ча­ем:

Так как a и n ― целые числа, то число 10 000 крат­но a.

За­ме­тим, что так как Сле­до­ва­тель­но, тре­бу­ет­ся найти все де­ли­те­ли числа , мень­шие 50. Так как то ис­ко­мый де­ли­тель может со­дер­жать в своем раз­ло­же­нии на про­стые мно­жи­те­ли лишь 2 и 5, при­чем каж­дый из этих со­мно­жи­те­лей может быть в сте­пе­ни, не пре­вос­хо­дя­щей 4.

Воз­мож­ны три слу­чая:

1)  Число a не де­лит­ся на 5. Тогда оно может быть толь­ко сте­пе­нью двой­ки, при­чем не более, чем чет­вер­той, т. е. a может при­ни­мать зна­че­ния 1, 2, 4, 8 или 16, а пло­щадь при этом будет равна, со­от­вет­ствен­но, 99, 196, 384, 736 или 1344.

2)  Число a де­лит­ся на 5, но не де­лит­ся на 25. Тогда оно может быть равно 5, 10, 20 или 40. Пло­щадь в этих слу­ча­ях будет равна, со­от­вет­ствен­но, 475, 900, 1600 или 2400.

3)  Число a де­лит­ся на 25. В этом слу­чае оно может быть равно толь­ко 25. Тогда пло­щадь равна 1875.

Ответ: а) 2500; б) 99; в) 99, 196, 384, 475, 736, 900, 1344, 1600, 1875 или 2400.