Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д14 C4 № 510988
i

Сто­ро­ны KM и MN тре­уголь­ни­ка KMN равны со­от­вет­ствен­но 30 и 25, а его вы­со­та MH равна 24. Най­ди­те рас­сто­я­ние между цен­тра­ми окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки KMH и MNH.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Пусть точки O и P ― цен­тры окруж­но­стей, впи­сан­ных в тре­уголь­ни­ки KMH и MNH со­от­вет­ствен­но, R и r ― ра­ди­у­сы этих окруж­но­стей, а точки E и F ― точки, в ко­то­рых окруж­но­сти ка­са­ют­ся от­рез­ка MH. Из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков KMH и MNH на­хо­дим:

KH= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: KM в квад­ра­те минус MH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =18, R= дробь: чис­ли­тель: MH плюс KH минус KM, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 24 плюс 18 минус 30, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =6,

 

HN= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: MN в квад­ра­те минус MH в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =7, r= дробь: чис­ли­тель: MH плюс HN минус MN, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 24 плюс 7 минус 25, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби =3.

Опу­стим из точки O пер­пен­ди­ку­ляр OQ на пря­мую FP (см. рис. 1, 2). Ис­ко­мое рас­сто­я­ние OP на­хо­дим из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка OQP:OP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: OQ в квад­ра­те плюс PQ в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

 

Пер­вый слу­чай. Точка H лежит между точ­ка­ми K и N, см. рис. 1.

OQ=EF=HE минус HF=R минус r,

 

PQ=PF плюс FQ=PF плюс EO=R плюс r,

 

OP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка R минус r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка R плюс r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та .

Вто­рой слу­чай. Точка N лежит между точ­ка­ми K и H, см. рис. 2.

OQ=EF=HE минус FH=R минус r,

 

PQ=FQ минус PF=EO минус PF=R минус r,

 

OP= ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: левая круг­лая скоб­ка R минус r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка R минус r пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та =3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .

 

Ответ: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 10 конец ар­гу­мен­та или 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 2 конец ар­гу­мен­та .


-------------
Дублирует задание № 501418.
Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, и по­лу­чен пра­виль­ный ответ3
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная кон­фи­гу­ра­ция, для ко­то­рой по­лу­че­но пра­виль­ное зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны или рас­смот­ре­ны все воз­мож­ные гео­мет­ри­че­ские кон­фи­гу­ра­ции, но по­лу­чен не­пра­виль­ный ответ из-за одной ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки (опис­ки)2
Рас­смот­ре­на хотя бы одна воз­мож­ная гео­мет­ри­че­ская кон­фи­гу­ра­ция, в ко­то­рой по­лу­че­но зна­че­ние ис­ко­мой ве­ли­чи­ны, не­пра­виль­ное из-за ариф­ме­ти­че­ской ошиб­ки (опис­ки)1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: Проб­ный ЕГЭ по ма­те­ма­ти­ке. Санкт-Пе­тер­бург 2013. Ва­ри­ант 2
Классификатор планиметрии: Окруж­но­сти и тре­уголь­ни­ки
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025