Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д19 C7 № 521928
i

Пусть K(n) обо­зна­ча­ет сумму квад­ра­тов всех цифр на­ту­раль­но­го числа n.

а)  Су­ще­ству­ет ли такое трех­знач­ное число n, что K(n)  =  171?

б)  Су­ще­ству­ет ли такое трех­знач­ное число n, что K(n)  =  172?

в)  Какое наи­мень­шее зна­че­ние может при­ни­мать вы­ра­же­ние 4K(n) − n, если n  — трех­знач­ное число?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

а)  Да, на­при­мер 993.

б)  Пусть a в квад­ра­те плюс b в квад­ра­те плюс c в квад­ра­те =172, где a,b,c  — цифры числа n. По­сколь­ку при де­ле­нии на 4 квад­ра­ты могут да­вать остат­ки толь­ко 0 или 1, то все они долж­ны быть четны. Если по­де­лить их все на 2, то по­лу­чим x в квад­ра­те плюс y в квад­ра­те плюс z в квад­ра­те =43. Те­перь из тех же со­об­ра­же­ний все числа не­чет­ны, то есть могут быть равны толь­ко 1 или 3 (цифры боль­ше не­воз­мож­ны, по­сколь­ку по­лу­ча­лись бы из цифр, не мень­ших 10). Но даже 3 в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те плюс 3 в квад­ра­те мень­ше 43.

в)  4K левая круг­лая скоб­ка n пра­вая круг­лая скоб­ка минус n=4a в квад­ра­те плюс 4b в квад­ра­те плюс 4c в квад­ра­те минус 100a минус 10b минус c=4 левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 25a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 2 левая круг­лая скоб­ка 2b в квад­ра­те минус 5b пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 4c в квад­ра­те минус c пра­вая круг­лая скоб­ка . Каж­дое сла­га­е­мое можно ми­ни­ми­зи­ро­вать не­за­ви­си­мо от дру­гих, при­чем все сла­га­е­мые  — квад­рат­ные трех­чле­ны, по­это­му их ми­ни­мум (вер­ши­на) легко опре­де­ля­ет­ся. Нас, прав­да, ин­те­ре­су­ют толь­ко на­ту­раль­ные зна­че­ния пе­ре­мен­ных  — они могут быть либо во­круг вер­ши­ны, либо (если вер­ши­на вне про­ме­жут­ка левая квад­рат­ная скоб­ка 1;9 пра­вая квад­рат­ная скоб­ка ) в кон­цах от­рез­ка.

Сле­ду­ет вы­брать a=9,b=1,c=0, тогда по­лу­чим 328 минус 910= минус 582.

 

Ответ: а) Да; б) Нет; в) − 582.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Верно по­лу­че­ны все пе­ре­чис­лен­ные (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­ты.4
Верно по­лу­че­ны три из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.3
Верно по­лу­че­ны два из пе­ре­чис­лен­ных (см. кри­те­рий на 1 балл) ре­зуль­та­тов.2
Верно по­лу­чен один из сле­ду­ю­щих ре­зуль­та­тов:

  — при­мер в п. а;

  — обос­но­ван­ное ре­ше­ние п. б;

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что S может при­ни­мать все целые зна­че­ния (от­лич­ные от −1 и 1);

  — обос­но­ва­ние в п. в того, что ра­вен­ства S = −1 и S = 1 не­воз­мож­ны.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4

Аналоги к заданию № 521928: 522100 522128 522154 Все

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 239
Классификатор алгебры: Числа и их свой­ства
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025