РЕШУ ЕГЭ — математика профильная

Вариант № 20109276

А. Ларин: Тренировочный вариант № 239.

Дано уравнение $синус x= косинус в квадрате x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби логарифм по основанию левая круглая скобка корень из 2 правая круглая скобка левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: синус левая круглая скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка конец дроби правая круглая скобка .$

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $левая квадратная скобка минус дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби ; Пи правая квадратная скобка .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах.	2
Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	2

В основании SABCD лежит прямоугольник ABCD со сторонами AB  =  4 и BC  =   $корень из: начало аргумента: 33 конец аргумента ,$ все боковые ребра пирамиды равны 4. На диагонали BD основания ABCD отмечена точка Е, а на ребре AS  — точка F так, что SF  =  BE  =  3.

а)  Докажите, что плоскость CEF параллельна SB.

б)  Пусть плоскость CEF пересекает ребро SD в точке Q. Найдите расстояние от Q до плоскости АВС.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	2
Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0

Решите неравенство: $левая круглая скобка x в квадрате минус 8x плюс 15 правая круглая скобка левая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка плюс 2 в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка умножить на корень из: начало аргумента: x минус 1 конец аргумента \leqslant0.$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Дан выпуклый четырехугольник ABCD с прямым углом А. Окружность, проходящая через вершины А, В и D пересекает стороны ВС и CD в точках M и N соответственно. Прямые BN и DM пересекаются в точке Р, а прямая СР пересекает сторону AD в точке К.

а)  Докажите, что точки А, М, Р и К лежат на одной окружности.

б)  Найдите радиус этой окружности, если известно, что прямая СK параллельна прямой АМ и АВ  =  АК  =  KD  =   $4 корень из 5 .$

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.	3
Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.	2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Банк планирует вложить на 1 год 30% имеющихся у него средств клиентов в акции золотодобывающего комбината, а остальные 70%  — в строительство торгового комплекса. В зависимости от обстоятельств первый проект может принести банку прибыль в размере от 32% до 37% годовых, а второй проект  — от 22 до 27% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке, уровень которой должен находиться в пределах от 10% до 20% годовых. Определите, какую наименьшую и наибольшую чистую прибыль в процентах годовых от суммарных вложений в покупку акций и строительство торгового комплекса может при этом получить банк.

Решение. Пусть сумма находящихся в банке средств клиентов составляет S денежных единиц. Банк получит наименьшую прибыль, если его доходы по обоим вложениям окажутся минимальными, а выплаты клиентам максимальными. Величина минимальных доходов составляет

$0,3S умножить на 1,32 плюс 0,7S умножить на 1,22 минус S=0,396S плюс 0,854S минус S=0,25S.$

Выплата клиентам по высшей ставке (20%) составляет 0,2 . Следовательно, наименьшая возможная чистая прибыль равна

$дробь: числитель: 0,25S минус 0,2S, знаменатель: S конец дроби умножить на 100\%=0,05 умножить на 100\%=5\%.$

Банк получит наибольшую прибыль, если его доходы по обоим вложениям окажутся максимальными, а выплаты клиентам минимальными. Величина максимальных доходов составляет

$0,3S умножить на 1,37 плюс 0,7S умножить на 1,27 минус S=0,411S плюс 0,889S минус S=0,3S .$

Выплата клиентам по низшей ставке (10%) составляет 0,1 . Поэтому наибольшая возможная чистая прибыль равна

$дробь: числитель: 0,3S минус 0,1S, знаменатель: S конец дроби умножить на 100\%=0,2 умножить на 100\%=20\%.$

Ответ: 5%; 20%.

Примечание.

Эта задача, взятая нами из вариантов А. Ларина № 93 и № 239, впервые, по-видимому, была предложена на вступительном экзамене по математике для поступающих на отделение менеджмента экономического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в июле 1997 года. Составляя парную задачу к этой, авторы, по всей вероятности, допустили ошибку, распространенную потом при цитировании в методических публикациях. Интересующемуся читателю рекомендуем самостоятельно решить эту (несложную) задачу, а затем проверить себя.

Банк планирует вложить на 1 год 40% имеющихся у него средств клиентов в проект Х, а остальные 60%  — проект Y. Проект Х может принести прибыль в размере от 19% до 24% годовых, а проект Y  — от 29% до 34% годовых. В конце года банк обязан вернуть деньги клиентам и выплатить им проценты по заранее установленной ставке. Определить наименьший и наибольший возможные уровни процентной ставки, при которых чистая прибыль банка составит не менее 10% и не более 15% годовых от суммарных вложений в проекты Х и Y.

Решение и комментарии приведены в задании 621856.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Верно построена математическая модель	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно четыре целых решения.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Пусть K(n) обозначает сумму квадратов всех цифр натурального числа n.

а)  Существует ли такое трехзначное число n, что K(n)  =  171?

б)  Существует ли такое трехзначное число n, что K(n)  =  172?

в)  Какое наименьшее значение может принимать выражение 4K(n) − n, если n  — трехзначное число?

№ п/п	№ задания	Ответ
1	521922	а) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс 2 Пи k;k принадлежит Z правая фигурная скобка ;$ б) $левая фигурная скобка дробь: числитель: Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая фигурная скобка .$
2	521923	б) $дробь: числитель: 2 корень из: начало аргумента: 15 конец аргумента , знаменатель: 7 конец дроби .$
3	521924	$левая фигурная скобка 1 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 3;5 правая квадратная скобка .$
4	521925	б) $корень из: начало аргумента: 65 конец аргумента .$
5	521927	$левая квадратная скобка 1;3 правая круглая скобка .$
6	521928	а) Да; б) Нет; в) − 582.

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

А. Ларин: Тренировочный вариант № 239.

Ключ