PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 521907 
Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, сводимые к целым на синус или косинус, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Формулы двойного угла, Формулы приведения
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Преобразуем уравнение
откуда 
или 
Первый вариант невозможен.
б) Отберём корни на указанном промежутке с помощью тригонометрической окружности. 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 521907
а) б)
б) 
В его основании проведена 
и 
Очевидно 
(потому что 
), поэтому 
Итак, 
что и требовалось.
Значит, центр описанной окружности треугольника AOB лежит на продолжении OC за точку C на расстоянии 
от точки 
Обозначим эту точку за 
Тогда проекция центра X описанной сферы пирамиды POAB на плоскость основания конуса — как раз точка 
получим
на сторону AC и обозначим их 
соответственно. Тогда
(поскольку 
K — середина BC и 
— середина AC). Аналогично вдвое отличаются проекции отрезков OK и AH на сторону AB, откуда и следует, что и сами отрезки отличаются вдвое.
и 
и 
мы знаем все стороны, кроме 
Найдем ее
тысяч рублей. Значит, фонд зарплаты по-новому составляет 
тысяч вместо 
которые были раньше. Значит, всего экономилось 
тысяч в месяц, а за год сэкономили 
тысяч. Это и есть размер премии директора. 
тысяч в месяц, то есть 
Очевидно 
причем при 
имеем только 
а при прочих допустимых t имеем два подходящих 
Получаем уравнение 
Оно должно иметь ровно один корень на интервале 
и не иметь вторым корнем 
При 
получаем 
и у исходного уравнения корней нет, а при 
получаем 
и у исходного уравнения два корня.
или 
то либо 
(тогда второй корень 
и у исходного уравнения два корня).
то 
Поэтому при 
исходное уравнение будет иметь 
или 
корня, это нас не устроит.
Для этого нужно, чтобы значения функции 
были разных знаков на концах отрезка. Итак, 
поэтому всегда остается четной и не может быть равна 
четыре множителя 
два множителя 
и по одному множителю 
и 
поэтому результат будет не меньше 
Этого добиться можно, например так — 