Версия для копирования в MS Word
PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ» (https://math-ege.sdamgia.ru)
Вариант № 20107404

А. Ларин: Тренировочный вариант № 237.

1.

Дано уравнение 2 умножить на 8 в степени левая круглая скобка косинус левая круглая скобка дробь: числитель: 3 Пи , знаменатель: 2 конец дроби плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка косинус 2x правая круглая скобка .

а)  Решите уравнение.

б)  Найдите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку  левая квадратная скобка 2 Пи ; дробь: числитель: 7 Пи , знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка .

2.

В конусе с вершиной в точке Р высота РО =  корень из 7 . В его основании проведена

хорда АВ, отстоящая от точки О на расстоянии, равном 3. Известно, что радиус

основания конуса равен 5.

а)  Докажите, что расстояние от точки Р до прямой АВ вдвое меньше длины отрезка АВ.

б)  Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды РОАВ.

3.

Решите неравенство:  дробь: числитель: левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x в степени 4 плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка логарифм по основанию 2 x минус 3 правая круглая скобка минус логарифм по основанию 2 x плюс 2, знаменатель: \log в квадрате _2 x минус 5 умножить на логарифм по основанию 2 x плюс 6 конец дроби больше или равно дробь: числитель: \log в квадрате _2 x минус логарифм по основанию 2 x в кубе плюс 1, знаменатель: 3 минус логарифм по основанию 2 x конец дроби .

4.

В остроугольном треугольнике АВС высоты пересекаются в точке Н, точка О  — центр описанной окружности, точка К  — середина ВС.

а)  Докажите, что отрезок АН вдвое длиннее отрезка ОК.

б)  Найдите длину отрезка ОН, если известно, что АВ = 5, ВС = 6, АС = 7.

5.

В 2016 году в НИИ «Наномир» работали 20 сотрудников: директор, пять его заместителей, 12 инженеров и две уборщицы. Среднемесячная зарплата директора составляла 500 тыс. руб., зама  — 200 тыс. руб., инженера 50 тыс. руб., уборщицы  — 25 тыс. руб.

С 1 января 2017 года 4 инженера ушли на заслуженный отдых. Чтобы сохранить среднюю зарплату по НИИ на уровне прошлого года, директор решил изменить зарплату только у своих замов.

В конце 2017 года неожиданно выяснилось, что годовой фонд заработной платы НИИ, сформированный в объеме прошлого года, оказался выбран не полностью. В связи с этим все оставшиеся на счету фонда деньги директор перечислил себе в качестве премии.

Определите:

а)  среднюю зарплату по НИИ в 2017 году;

б)  на сколько % изменилась (увеличилась или уменьшилась) зарплата заместителей директора НИИ в 2017 году;

в)  размер премии, полученной директором НИИ в конце 2017 года.

6.

Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение

4 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка минус 3a в квадрате умножить на 2 в степени левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка плюс 3a в кубе минус a в квадрате =0.

имеет ровно два корня.

7.

В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каждой звездочки поставили знак сложения или вычитания (по своему усмотрению) и подсчитали результат.

а)  Могло ли в результате вычисления получиться число 9?

б)  Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?

в)  В ряду чисел 3 * 4 * 5 * 6 * 12 * 13 * 14 * 15 на месте каждой звездочки поставили знак умножения или деления (по своему усмотрению) и подсчитали результат. Какое наименьшее натуральное число могло получиться в результате вычисления?