ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 521430 Добавить в вариант

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а)  Может ли в результате получиться 0?

б)  Может ли в результате получиться 1?

в)  Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Спрятать решение

Решение.

Обозначим суммы чисел в группах $S_1,$ $S_2,$ $S_3,$ $S_4$ а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через $A.$ Можно считать, что $S_1 меньше или равно S_2 меньше или равно S_3 меньше или равно S_4.$

а)  Чтобы число A равнялось $0,$ необходимо, чтобы каждая из разностей $S_i минус S_j$ равнялась $0,$ то есть $S_1=S_2=S_3=S_4.$ Сумма всех двенадцати чисел $1 плюс 2 плюс ... плюс 11 плюс 12 = дробь: числитель: 12 умножить на 13, знаменатель: 2 конец дроби = 78.$ С другой стороны, она равна $S_1 плюс S_2 плюс S_3 плюс S_4=4S_1,$ но 78 не делится на 4. Значит, $A не равно 0.$

б)  Чтобы число A равнялось $1,$ необходимо, чтобы все, кроме одной, разности $S_i минус S_j$ равнялись $0.$ Значит, $S_1 меньше S_4,$ но в этом случае каждая из сумм $S_2,$ $S_3$ не равна хотя бы одной из сумм $S_1,$ $S_4$ поэтому хотя бы три разности $S_i минус S_j$ не равны $0$ и число $А$ не меньше $3.$ Значит, $A не равно 1.$

в)  Выразим число A явно через $S_1,$ $S_2,$ $S_3,$ $S_4$ :

$A= левая круглая скобка S_2 минус S_1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_3 минус S_1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_4 минус S_1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_3 минус S_2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_4 минус S_2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_4 минус S_3 правая круглая скобка =$
$=3 левая круглая скобка S_4 минус S_3 правая круглая скобка плюс 4 левая круглая скобка S_3 минус S_2 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка S_2 минус S_1 правая круглая скобка .$ $A=$
$= левая круглая скобка S_2 минус S_1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_3 минус S_1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_4 минус S_1 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_3 минус S_2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_4 минус S_2 правая круглая скобка плюс левая круглая скобка S_4 минус S_3 правая круглая скобка =$
$=3 левая круглая скобка S_4 минус S_3 правая круглая скобка плюс 4 левая круглая скобка S_3 минус S_2 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка S_2 минус S_1 правая круглая скобка .$

В предыдущих пунктах было показано, что $A больше или равно 3.$ Если $A=3,$ то $S_1=S_2=S_3=S_4 минус 1$ или $S_4=S_2=S_3=S_1 плюс 1.$ В этом случае сумма всех двенадцати чисел равна $4S_1 плюс 1$ или $4S_4 минус 1,$ то есть нечётна, что неверно.

Для следующего разбиения чисел на группы: $левая фигурная скобка 12;7 правая фигурная скобка ;$ $левая фигурная скобка 11;6;2 правая фигурная скобка ;$ $левая фигурная скобка 10;5;4;1 правая фигурная скобка ;$ $левая фигурная скобка 9;8;3 правая фигурная скобка$   — число A равно $4.$

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

----------

Дублирует задание 500197.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов	2
Верно получен один ш следующих результатов:   — Обоснованное решение п. а;   — обоснованное решение п. б;   — искомая оценка в п. в;   — пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 209

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь