СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 521430

Натуральные числа от 1 до 12 разбивают на четыре группы, в каждой из которых есть по крайней мере два числа. Для каждой группы находят сумму чисел этой группы. Для каждой пары групп находят модуль разности полученных сумм и полученные 6 чисел складывают.

а) Может ли в результате получиться 0?

б) Может ли в результате получиться 1?

в) Какое наименьшее возможное значение полученного результата?

Решение.

Обозначим суммы чисел в группах , , , а указанную в условии сумму модулей их попарных разностей через Можно считать, что

 

а) Чтобы число равнялось , необходимо, чтобы каждая из разностей равнялась , то есть Сумма всех двенадцати чисел С другой стороны, она равна , но 78 не делится на 4. Значит,

 

б) Чтобы число равнялось , необходимо, чтобы все, кроме одной, разности равнялись Значит, , но в этом случае каждая из сумм , не равна хотя бы одной из сумм , поэтому хотя бы три разности не равны и число не меньше Значит,

 

в) Выразим число явно через , , , :

 

В предыдущих пунктах было показано, что Если , то или В этом случае сумма всех двенадцати чисел равна или , то есть нечётна, что неверно.

 

Для следующего разбиения чисел на группы: ; ; ; — число равно

 

Ответ: а) нет; б) нет; в) 4.

 

----------

Дублирует задание 500197.

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 209.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства