Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д17 C6 № 521254
i

Най­ди­те все зна­че­ния па­ра­мет­ра а, при каж­дом из ко­то­рых урав­не­ние

де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те левая круг­лая скоб­ка x минус 2a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс x левая круг­лая скоб­ка 2 плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка плюс 1 минус a в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка = де­ся­тич­ный ло­га­рифм левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус a в квад­ра­те x плюс 2x минус a в квад­ра­те плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка

имеет ровно два раз­лич­ных дей­стви­тель­ных корня.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Это урав­не­ние рав­но­силь­но урав­не­нию

x в кубе минус 2ax в квад­ра­те плюс 2x плюс 2ax плюс 1 минус a в квад­ра­те =x в квад­ра­те минус a в квад­ра­те x плюс 2x минус a в квад­ра­те плюс 1,

при усло­вии, что его левая и пра­вая части по­ло­жи­тель­ны. До­ста­точ­но будет про­ве­рять толь­ко пра­вую, по­сколь­ку левая будет ей равна при всех кор­нях урав­не­ния. Имеем:

x в кубе минус 2ax в квад­ра­те плюс 2x плюс ax плюс 1 минус a в квад­ра­те минус x в квад­ра­те плюс a в квад­ра­те x минус 2x плюс a в квад­ра­те минус 1=0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но x в кубе минус левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те плюс a пра­вая круг­лая скоб­ка x=0 рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка 2a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка x плюс левая круг­лая скоб­ка a левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но

 

рав­но­силь­но x левая круг­лая скоб­ка x минус a пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x минус a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =0.

Итак, воз­мож­ные корни это x=0, x=a, x=a плюс 1. Под­ста­вим их.

При x=0 по­лу­ча­ем 1 минус a в квад­ра­те боль­ше 0, по­это­му этот ко­рень есть при a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;1 пра­вая круг­лая скоб­ка

При x=a по­лу­ча­ем

минус a в кубе плюс 2a плюс 1 боль­ше 0,

то есть

минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус a минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 0,

по­это­му этот ко­рень есть при

a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

При x=a плюс 1 по­лу­ча­ем

минус a в кубе минус a в квад­ра­те плюс 4a плюс 4 боль­ше 0,

то есть минус левая круг­лая скоб­ка a плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка a в квад­ра­те минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка , по­это­му ко­рень есть при

a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1;2 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Нам нужно, чтобы было два корня. Раз­бе­рем сразу слу­чаи, когда какие-то корни сов­па­да­ют. При a=0 будут корни 0, 0, 1, они под­хо­дят и среди них два раз­лич­ных. При a= минус 1 будут корни 0, 0, −1, но они оба не под­хо­дят.

Для осталь­ных a удоб­но на­ри­со­вать три пря­мые, на ко­то­рых будут за­штри­хо­ва­ны мно­же­ства под­хо­дя­щих a, и смот­реть, когда точка за­штри­хо­ва­на на двух из трех пря­мых. По­лу­чим:

a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Окон­ча­тель­но: a при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка 0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 5 конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

 

Ответ: левая круг­лая скоб­ка минус бес­ко­неч­ность ; минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка минус 1; дробь: чис­ли­тель: 1 минус ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая квад­рат­ная скоб­ка \cup левая фи­гур­ная скоб­ка {0 пра­вая фи­гур­ная скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка 1; дробь: чис­ли­тель: 1 плюс ко­рень из 5 , зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен пра­виль­ный ответ.4
По­лу­чен вер­ный ответ. Ре­ше­ние в целом вер­ное. Обос­но­ва­но най­де­ны оба про­ме­жут­ка зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.3
Обос­но­ва­но най­ден хотя бы один про­ме­жу­ток зна­че­ний па­ра­мет­ра из от­ве­та к за­да­че, при этом воз­мож­ны не­точ­но­сти с (не)вклю­че­ни­ем кон­цов и(или) вы­чис­ли­тель­ная по­греш­ность.2
Ре­ше­ние со­дер­жит:

− или вер­ное опи­са­ние рас­по­ло­же­ния двух лучей и пря­мой из усло­вия за­да­чи;

− или вер­ное по­лу­че­ние квад­рат­но­го урав­не­ния с па­ра­мет­ром a от­но­си­тель­но одной из пе­ре­мен­ных.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл4
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 194
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с па­ра­мет­ром
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025