ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 521255 Добавить в вариант

Пусть S_n  — сумма п первых членов арифметической прогрессии (a_n). Известно, что $S_n плюс 1 = 2n в квадрате – 21n – 23.$

а)  Укажите формулу n‐го члена этой прогрессии.

б)  Найдите наименьшую по модулю сумму $S_n.$

в)  Найдите наименьшее n, при котором S_n будет квадратом целого числа.

Спрятать решение

Решение.

а)  Имеем:

$a_n=S_n минус S_n минус 1=2 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 21 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 23 минус левая круглая скобка 2 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 21 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка минус 23 правая круглая скобка =4n минус 27.$ $a_n=S_n минус S_n минус 1=$
$=2 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 21 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 23 минус левая круглая скобка 2 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 21 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка минус 23 правая круглая скобка =4n минус 27.$ $a_n=S_n минус S_n минус 1=$
$=2 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка в квадрате минус 21 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка минус 23 минус левая круглая скобка 2 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка в квадрате минус 21 левая круглая скобка n минус 2 правая круглая скобка минус 23 правая круглая скобка =$
$=4n минус 27.$

б)  При увеличении n суммы сначала будут уменьшаться (первые несколько членов прогрессии отрицательны), а потом начнут увеличиваться. Поэтому наименьшая по модулю сумма будет либо последняя отрицательная, либо первая положительная, либо, наконец, $S_1.$ Вычислим их. $S_1= минус 23.$

$S_12= минус 23 минус 19 минус 15 минус 11 минус 7 минус 3 плюс 1 плюс 5 плюс 9 плюс 13 плюс 17 плюс 21= минус 12;$

$S_13=S_12 плюс 25=13.$

Наименьшее по модулю будет $S_12,$ ее модуль $12.$

в)  Используем общую формулу для суммы. Имеем:

$S_n плюс 1= левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка 2n минус 23 правая круглая скобка .$

Допустим, что $n плюс 1$ и $2n минус 23$ кратны $d.$ Тогда и

$2n минус 23 минус 2 левая круглая скобка n плюс 1 правая круглая скобка = минус 25$

кратно $d.$ Значит, эти два множителя могут иметь общий множитель только 5 или 25. Тогда либо они оба квадраты, либо они оба упятеренные квадраты. При этом $n больше или равно 12,$ поскольку до этого момента суммы отрицательны. Будем пробовать на роль $n плюс 1$ все квадраты и упятеренные квадраты подряд. Имеем:

$n плюс 1=16,$ $2n минус 23=7,$ не квадрат;

$n плюс 1=20,$ $2n минус 23=15,$ не упятеренный квадрат;

$n плюс 1=25,$ $2n минус 23=25,$ квадрат.

Итак, минимальное такое S_k это $S_25=625=25 в квадрате .$

Ответ: а) $4n минус 27$ б) −12 в) 25.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 194

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь