Взяли последовательность первых 15 натуральных чисел.
а) Можно ли эти числа разбить на 5 групп так, что бы суммы чисел стоящих в одной группе имели разные остатки при делении на 5?
б) Можно ли эти числа разбить на 7 групп так, что бы суммы чисел входящих в одну группу имели разные остатки при делении на 7?
в) Можно ли эти числа упорядочить таким образом, что бы суммы любых трех последовательных чисел делилась на 5?
а) Да, например: 
б) Нет. Сумма всех чисел равна 120. Если бы это было возможно, то складывая суммы во всех группах мы сложили бы числа, кратные семи, и еще 
Поэтому общая сумма делилась бы на 7.
в) Нет. Допустим это возможно. Возьмем 4 числа подряд — a, b, c, 
Если 
и 
делятся на 5, то и 
делится на 5. То есть числа a и d дают одинаковые остатки от деления на 5, если стоят через два числа друг от друга. Но тогда числа с номерами 1, 4, 7, 10, 13 дают одинаковые остатки от деления на 5, что невозможно — там нет пяти чисел с одинаковыми остатками.
Ответ: а) да; б) нет; в) нет.