Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C7 № 521201

Взяли последовательность первых 15 натуральных чисел.

а) Можно ли эти числа разбить на 5 групп так, что бы суммы чисел стоящих в одной группе имели разные остатки при делении на 5?

б) Можно ли эти числа разбить на 7 групп так, что бы суммы чисел входящих в одну группу имели разные остатки при делении на 7?

в) Можно ли эти числа упорядочить таким образом, что бы суммы любых трех последовательных чисел делилась на 5?

Решение.

а) Да, например: 1 плюс 6 плюс 11=18, 2 плюс 7 плюс 12=21, 3 плюс 8 плюс 13=24, 4 плюс 9 плюс 14=27, 5 плюс 10 плюс 15=30.

б) Нет. Сумма всех чисел равна 120. Если бы это было возможно, то складывая суммы во всех группах мы сложили бы числа, кратные семи, и еще 0 плюс 1 плюс 2 плюс 3 плюс 4 плюс 5 плюс 6=21. Поэтому общая сумма делилась бы на 7.

в) Нет. Допустим это возможно. Возьмем 4 числа подряд — a, b, c, d. Если a плюс b плюс c и b плюс c плюс d делятся на 5, то и a плюс b плюс c минус (b плюс c плюс d)=a минус d делится на 5. То есть числа a и d дают одинаковые остатки от деления на 5, если стоят через два числа друг от друга. Но тогда числа с номерами 1, 4, 7, 10, 13 дают одинаковые остатки от деления на 5, что невозможно — там нет пяти чисел с одинаковыми остатками.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) нет.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 187.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Числа и их свойства