ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 521197 Добавить в вариант

Решите неравенство: $дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби \log в квадрате _x в квадрате минус 2x плюс 1 левая круглая скобка дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби правая круглая скобка в степени 4 минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x в квадрате правая круглая скобка меньше или равно минус 10.$

Спрятать решение

Решение.

Найдем ОДЗ неравенства. $1 минус x больше 0,$ $1 минус x не равно 1,$ $1 минус x в квадрате больше 0,$ $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате больше 0,$ $левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка в квадрате не равно 1,$ $дробь: числитель: x минус 1, знаменатель: x плюс 1 конец дроби не равно \pm 1.$ Третье неравенство дает $x принадлежит левая круглая скобка минус 1;1 правая круглая скобка ,$ второе $x не равно 0,$ а остальные уже ничего не добавляют. Итак, $x принадлежит левая круглая скобка минус 1;0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0;1 правая круглая скобка .$ Значит, $1 минус x больше 0,$ $1 плюс x больше 0.$ Преобразуем неравенство:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в степени 4 правая круглая скобка минус логарифм по основанию левая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка в степени 4 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка меньше или равно минус 10 равносильно$

$равносильно дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 2 минус 2 логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате минус 4 минус 4 логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка меньше или равно минус 10.$

Обозначим $t= логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка .$ Получим:

$дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 2 минус 2t правая круглая скобка в квадрате минус 4 минус 4t меньше или равно минус 10 равносильно 2t в квадрате минус 4t плюс 2 минус 4 минус 4t плюс 10 меньше или равно 0 равносильно$

$равносильно 2t в квадрате минус 8t плюс 8 меньше или равно 0 равносильно 2 левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка в квадрате меньше или равно 0 равносильно t=2.$

Перейдем к основной переменной:

$логарифм по основанию левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка левая круглая скобка 1 плюс x правая круглая скобка =2 равносильно 1 плюс x= левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка в квадрате равносильно 1 плюс x=1 минус 2x плюс x в квадрате равносильно$

$равносильно x в квадрате минус 3x=0 равносильно x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка =0 совокупность выражений x=0,x=3. конец совокупности .$

Оба корня посторонние.

Ответ: Решений нет.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 187

Классификатор алгебры: Неравенства с логарифмами по переменному основанию

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.2 Рациональные неравенства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь