Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д9 C3 № 521197

Решите неравенство: дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 \log в степени 2 _{x в степени 2 минус 2x плюс 1} левая круглая скобка дробь, числитель — x минус 1, знаменатель — x плюс 1 правая круглая скобка в степени 4 минус 4 логарифм по основанию 1 минус x (1 минус x в степени 2 ) меньше или равно минус 10.

Решение.

Найдем ОДЗ неравенства. 1 минус x больше 0, 1 минус x не равно 1, 1 минус x в степени 2 больше 0, (x минус 1) в степени 2 больше 0, (x минус 1) в степени 2 не равно 1,  дробь, числитель — x минус 1, знаменатель — x плюс 1 не равно \pm 1. Третье неравенство дает x принадлежит ( минус 1;1), второе x не равно 0, а остальные уже ничего не добавляют. Итак, x принадлежит ( минус 1;0)\cup (0;1). Значит, 1 минус x больше 0, 1 плюс x больше 0. Преобразуем неравенство:

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ( логарифм по основанию (1 минус x) в степени 2 ((1 минус x) в степени 4 ) минус логарифм по основанию (1 минус x) в степени 2 ((1 плюс x) в степени 4 )) в степени 2 минус 4 логарифм по основанию 1 минус x (1 минус x) минус 4 логарифм по основанию 1 минус x (1 плюс x) меньше или равно минус 10 равносильно

 

 равносильно дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (2 минус 2 логарифм по основанию 1 минус x (1 плюс x)) в степени 2 минус 4 минус 4 логарифм по основанию 1 минус x (1 плюс x) меньше или равно минус 10.

Обозначим t= логарифм по основанию 1 минус x (1 плюс x). Получим:

 дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (2 минус 2t) в степени 2 минус 4 минус 4t меньше или равно минус 10 равносильно 2t в степени 2 минус 4t плюс 2 минус 4 минус 4t плюс 10 меньше или равно 0 равносильно

 

 равносильно 2t в степени 2 минус 8t плюс 8 меньше или равно 0 равносильно 2(t минус 2) в степени 2 меньше или равно 0 равносильно t=2.

Перейдем к основной переменной:

 логарифм по основанию 1 минус x (1 плюс x)=2 равносильно 1 плюс x=(1 минус x) в степени 2 равносильно 1 плюс x=1 минус 2x плюс x в степени 2 равносильно

 

 равносильно x в степени 2 минус 3x=0 равносильно x(x минус 3)=0 совокупность выражений x=0,x=3. конец совокупности .

Оба корня посторонние.

 

Ответ: Решений нет.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 187.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства с логарифмами по переменному основанию
Методы алгебры: Введение замены
Классификатор базовой части: 2.2.2 Рациональные неравенства