Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 521200

Задана функция

f(x)= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 2 минус a }x плюс дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 косинус 2x минус \ctg в степени 2 (2a) минус 5 в степени логарифм по основанию 2 ( минус a) .

При каких действительных значениях параметра а уравнениеf'(x)=0 имеет на отрезке  левая квадратная скобка дробь, числитель — 73 Пи , знаменатель — 12 ; дробь, числитель — 155 Пи , знаменатель — 24 правая квадратная скобка ровно два корня?

Решение.

Ясно что a меньше 2 (иначе не определен корень), a меньше 0 (иначе не определен логарифм), 2a не равно Пи k, k принадлежит Z (иначе не определен котангенс). Берем производную. Последние два слагаемых — просто константы и исчезают. Имеем:

f'(x)= дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 2 минус a } минус синус 2x=0.

На отрезке  левая квадратная скобка 6 Пи плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 12 ;6 Пи плюс дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 24 правая квадратная скобка будем иметь:

2x принадлежит левая квадратная скобка 12 Пи плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 ;12 Пи плюс дробь, числитель — 11 Пи , знаменатель — 12 правая квадратная скобка .

Поэтому  синус 2x принимает там значения от  синус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 6 = дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 до 1 (при x=12 Пи плюс дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ) и потом, убывая, принимает еще раз значения до  дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (в точке 12 Пи плюс дробь, числитель — 5 Пи , знаменатель — 6 и потом какие-то еще меньшие значения. Значит, ровно два раза одно значение он принимает, только если это значение попадает в промежуток  левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;1 правая круглая скобка . Имеем:

 дробь, числитель — 1, знаменатель — корень из { 2 минус a } принадлежит левая квадратная скобка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 ;1 правая круглая скобка равносильно корень из { 2 минус a} принадлежит (1;2] равносильно 2 минус a принадлежит (1;4] равносильно a принадлежит [ минус 2;1).

Значит итоговый ответ a принадлежит левая квадратная скобка минус 2; минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ;0 правая круглая скобка . Выколотая точка возникла из-за ограничений на котангенс, а 1 заменилась на 0 из-за условия a меньше 0.

 

Ответ:  левая квадратная скобка минус 2; минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка минус дробь, числитель — Пи , знаменатель — 2 ;0 правая круглая скобка .

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 187.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Неравенства с параметром