PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 521195 
Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Показательные уравнения, Рациональные уравнения, Тригонометрические уравнения, Уравнения смешанного типа
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
а) Решите уравнение:
б) Найдите 
Решение. Обозначим временно 
Упростим выражение в правой части:
Решим уравнение 
б) Если 
и 
то 
Тогда 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 521195
а) б)
б) 
проведено сечение СМN параллельно ребру АВ, которое делит объем призмы пополам (точка М лежит на АА', N — на ВВ’). 
C другой стороны: 
Построим перпендикуляр 
к прямой 
Тогда прямая 
перпендикулярна прямой AB по теореме о трех перпендикулярах. Значит, угол между плоскостями равен углу между 
и HC — они обе перпендикулярны AB, а прямая пересечения этих плоскостей параллельна 
Имеем:
б) 
Третье неравенство дает 
второе 
а остальные уже ничего не добавляют. Итак, 
Значит, 
Преобразуем неравенство:
Получим:
откуда 
В решении мы нигде не использовали то, что AB диаметр, наше доказательство годится во всех случаях.
рублей, то после первой выплаты там станет 
Аналогично затем станет 
и так далее. Поскольку изначально фонд был не менее 37 тысяч, 
Поэтому 
Значит, команд было не менее трех.
то из фонда в 
тысяч первая получит 20 тысяч, вторая 10 тысяч, а третья 5 тысяч. В кассе останется 4 тысячи.
Заметим, что 
— выплата третьей команде — целое число тысяч рублей. Значит, x само целое и даже более того, кратно 8. Наименьшее такое число после 38 это 40.
имеет на отрезке 
ровно два корня?
(иначе не определен корень), 
(иначе не определен логарифм), 
(иначе не определен котангенс). Берем производную. Последние два слагаемых — просто константы и исчезают. Имеем:
будем иметь:
принимает там значения от 
до 
(при 
) и потом, убывая, принимает еще раз значения до 
(в точке 
и потом какие-то еще меньшие значения. Значит, ровно два раза одно значение он принимает, только если это значение попадает в промежуток 
Имеем:
Выколотая точка возникла из-за ограничений на котангенс, а 1 заменилась на 0 из-за условия 
Поэтому общая сумма делилась бы на 7.
Если 
и 
делятся на 5, то и 
делится на 5. То есть числа a и d дают одинаковые остатки от деления на 5, если стоят через два числа друг от друга. Но тогда числа с номерами 1, 4, 7, 10, 13 дают одинаковые остатки от деления на 5, что невозможно — там нет пяти чисел с одинаковыми остатками.