Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д13 C5 № 521199

Общий призовой фонд турнира по волейболу не менее 37 тыс. руб. Из него выплачиваются командам деньги купюрами по 1 тыс. руб. по следующему правилу. Команда, занявшая 1 место, получит половину фонда и еще 0,5 тыс. руб.; вторая команда — половину оставшихся денег и еще 0,5 тыс. руб.; третья — половину остатка и еще 0,5 тыс. руб. и т.д. Известно, что после выдачи денег, в кассе осталось не более 4 тыс. руб. Какое минимальное число команд могло участвовать в турнире по этим правилам? Сколько при этом было денег в фонде, и сколько получила каждая команда, если известно, что купюры не разменивались?

Решение.

Если в фонде было x минус 1 рублей, то после первой выплаты там станет x минус 1 минус дробь, числитель — x минус 1, знаменатель — 2 минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 = дробь, числитель — x, знаменатель — 2 минус 1. Аналогично затем станет  дробь, числитель — x, знаменатель — 4 минус 1 и так далее. Поскольку изначально фонд был не менее 37 тысяч, x больше или равно 38. Поэтому  дробь, числитель — x, знаменатель — 4 минус 1 больше или равно дробь, числитель — 38, знаменатель — 4 минус 1 больше 4. Значит, команд было не менее трех.

Пример для трех возможен. Если x=40, то из фонда в 39 тысяч первая получит 20 тысяч, вторая 10 тысяч, а третья 5 тысяч. В кассе останется 4 тысячи.

Осталось объяснить, почему нельзя уменьшить x. Заметим, что  дробь, числитель — x, знаменатель — 8 — выплата третьей команде — целое число тысяч рублей. Значит, x само целое и даже более того, кратно 8. Наименьшее такое число после 38 это 40.

 

Ответ: 3 команды, 39 тыс. руб. было в призовом фонде. Команды получили 20, 10 и 5 тыс.

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 187.
Классификатор базовой части: Разные задачи с прикладным содержанием