Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д16 C5 № 521121

Накануне Нового года Деды Морозы раскладывали равными количествами конфеты в подарочные пакеты, а эти пакеты складывали в мешки, по 2 пакета в один мешок. Те же самые конфеты они могли разложить в пакеты так, что в каждом из них было бы на 5 конфет меньше, чем раньше, но тогда в каждом мешке стало бы лежать по 3 пакета, а мешков при этом потребовалось бы на 2 меньше. Какое наибольшее количество конфет могли раскладывать Деды Морозы?

Спрятать решение

Решение.

Допустим изначально было x пакетов по y конфет в каждом, тогда всего конфет было 2xy. По новой системе конфет будет  3 левая круглая скобка y минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка . Значит:

 3 левая круглая скобка y минус 5 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =2xy равносильно xy минус 15x минус 6y плюс 30=0 равносильно левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка левая круглая скобка y минус 15 правая круглая скобка =60.

Сразу заметим, что если оба множителя отрицательны, то они по модулю меньше 6 и 15, поэтому произведение меньше 60. Если же отрицательное только одно из них — произведение отрицательно. Итак, это положительные множители числа 60. Значит,  x принадлежит левая квадратная скобка 7; 66 правая квадратная скобка .

Выразим  y. Получим  y= дробь: числитель: 60, знаменатель: x минус 6 конец дроби плюс 15. Нас интересует максимум выражения

 2xy= дробь: числитель: 120x, знаменатель: x минус 6 конец дроби плюс 30x=30 дробь: числитель: x в квадрате минус 2x, знаменатель: x минус 6 конец дроби .

Производная этой функции равна:

 30 умножить на дробь: числитель: левая круглая скобка 2x минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка минус левая круглая скобка x в квадрате минус 2x правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 30 левая круглая скобка x в квадрате минус 12x плюс 12 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате конец дроби .

Поэтому функция убывает при  x принадлежит левая квадратная скобка 7; 6 плюс корень из 24 правая квадратная скобка и возрастает при  x принадлежит левая квадратная скобка 6 плюс корень из 24; 96 правая квадратная скобка . Поэтому осталось сравнить вариант с минимальным и максимальным  x:

 f левая круглая скобка 7 правая круглая скобка =30 умножить на 35=1050;

 

 f левая круглая скобка 66 правая круглая скобка =30 умножить на дробь: числитель: 66 в квадрате минус 2 умножить на 66, знаменатель: 60 конец дроби = дробь: числитель: 66 в квадрате минус 2 умножить на 66, знаменатель: 2 конец дроби =2112.

Ответ: 2112.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.3
Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу.2
Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором.1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 178.
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: Разные задачи с прикладным содержанием