ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 521119 Добавить в вариант

Решите неравенство $4 в степени x плюс дробь: числитель: 16, знаменатель: x в квадрате конец дроби \geqslant5 умножить на дробь: числитель: 2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: x конец дроби .$

Спрятать решение

Решение.

Запишем неравенство в виде:

$дробь: числитель: левая круглая скобка 2 в степени x x правая круглая скобка в квадрате минус 10 умножить на 2 в степени x x плюс 16, знаменатель: x в квадрате конец дроби больше или равно 0.$

Сразу заметим, что $x не равно 0.$ При прочих x числитель должен быть неотрицателен. Обозначив $t=2 в степени x x,$ получим:

$t в квадрате минус 10t плюс 16 больше или равно 0 равносильно левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 8 правая круглая скобка больше или равно 0 равносильно совокупность выражений t меньше или равно 2,t больше или равно 8. конец совокупности .$

Очевидно, при $x меньше 0$ будет $t меньше 0,$ а при $x больше или равно 0$ функция $2 в степени x x$ возрастает, причем $2 в степени 1 умножить на 1=2$ и $2 в квадрате умножить на 2=8,$ поэтому нам подходят положительные $x$ либо до $1,$ либо от $2.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 0 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 0; 1 правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ.	3
Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы.	2
Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	3

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 178

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ:

2.2.2 Рациональные неравенства;

2.2.3 Показательные неравенства;

2.2.9 Метод интервалов.

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь