СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д14 C6 № 521122

Для  каждого  значения  параметра  а  найдите  наибольшее  значение  функции

Решение.

Если x и a имеют разные знаки, сменим знак у x. Оно останется на все слагаемые, кроме последнего, сохранятся, а последнее увеличится. Заметим также, что если заменить одновременно a на и x на то ничего не изменится. Поэтому будем считать, что и Тогда модуль не нужен и функция принимает вид

(ее можно записать как Возьмем ее производную — наибольшее значение может быть либо в ее корнях, либо в концах отрезка

 

Значит, остается выбрать максимум из следующих вариантов:

 

 

 

 

Третий вариант разрешается только при то есть Наконец,

это разрешается только при то есть Теперь сравним значения функции в этих точках. Напомним, что Кроме того, везде в дальнейшем будем считать неравенство верным на всех тех промежутках, где одну из его частей не надо рассматривать. Имеем:

 

 

То есть наибольшее, если или В остальных случаях эта точка выбывает из рассмотрения. Далее:

 

Значит, максимальное из оставшихся при (и еще при но там оно проигрывает )

Наконец, сравним и Это имеет смысл только на промежутке причем на второго нет и первое выиграло автоматически.

Производная функции отрицательна между и поэтому кто из них раньше — тот и дает большее значение функции. То есть при выигрывает второе, а при первое (еще они иногда проигрывают и но с этим мы уже разобрались).

Получаем ответ для неотрицательных

 

 

 

На стыках промежутков обе формулы дают, естественно, одинаковые значения, поэтому мы сами выбираем, куда включить концы промежутков. Особенно это заметно на примере точки 0 — в нашем решении для него ответом было ). Осталось теперь заменить везде на и получить ответ для отрицательных

 

Ответ: При при при при при при при при

Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 178.
Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Не­ра­вен­ства с параметром