Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 521122

Для  каждого  значения  параметра  а  найдите  наибольшее  значение  функции

f левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка |x| минус 6 правая круглая скобка умножить на x в квадрате плюс 3|x| умножить на левая круглая скобка 3 минус a в квадрате правая круглая скобка плюс 6axнаотрезке левая квадратная скобка минус 3;3 правая квадратная скобка .

Спрятать решение

Решение.

Если x и a имеют разные знаки, сменим знак у x. Оно останется на  левая квадратная скобка минус 3; 3 правая квадратная скобка , все слагаемые, кроме последнего, сохранятся, а последнее увеличится. Заметим также, что если заменить одновременно a на  минус a и x на  минус x, то ничего не изменится. Поэтому будем считать, что  a больше или равно 0 и  x принадлежит левая квадратная скобка 0; 3 правая квадратная скобка . Тогда модуль не нужен и функция принимает вид

 f левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 6x в квадрате плюс 9x плюс 3x левая круглая скобка 2a минус a в квадрате правая круглая скобка

(ее можно записать как  x левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс 3x левая круглая скобка 2a минус a в квадрате правая круглая скобка . Возьмем ее производную — наибольшее значение может быть либо в ее корнях, либо в концах отрезка  левая квадратная скобка 0; 3 правая квадратная скобка :

 f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =3x в квадрате минус 12x плюс 9 плюс 6a минус 3a в квадрате =3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус левая круглая скобка a в квадрате минус 2a минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка =

 

=3 левая круглая скобка x в квадрате минус 4x минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка =3 левая круглая скобка x минус левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка правая круглая скобка левая круглая скобка x минус левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка правая круглая скобка =3 левая круглая скобка x минус a минус 1 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс a минус 3 правая круглая скобка .

Значит, остается выбрать максимум из следующих вариантов:

 f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0,

 

 f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка =9a левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка ,

 

 f левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс 3 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка a левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка =2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка .

Третий вариант разрешается только при  a плюс 1 принадлежит левая квадратная скобка 0; 3 правая квадратная скобка , то есть  a принадлежит левая квадратная скобка 0; 2 правая квадратная скобка . Наконец,

 f левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка = левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка a в квадрате плюс 3 левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка a левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка =2a левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате ,

это разрешается только при  3 минус a принадлежит левая квадратная скобка 0; 3 правая квадратная скобка , то есть  a принадлежит левая квадратная скобка 0; 3 правая квадратная скобка . Теперь сравним значения функции в этих точках. Напомним, что  a больше или равно 0. Кроме того, везде в дальнейшем будем считать неравенство верным на всех тех промежутках, где одну из его частей не надо рассматривать. Имеем:

 f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка  равносильно  0 больше или равно 9a левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка  равносильно  a принадлежит левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ;

 

 f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка  равносильно  0 больше или равно 2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка  равносильно  a принадлежит левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка ;

 

 f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка больше или равно f левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка  равносильно  0 больше или равно 2a левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате  равносильно  a принадлежит левая фигурная скобка 0 правая фигурная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .

То есть  f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка =0 наибольшее, если  a больше или равно 3 или  a=0. В остальных случаях эта точка выбывает из рассмотрения. Далее:

 f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка больше f левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка  равносильно  9a левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка больше или равно 2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка  равносильно  левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2a минус 1 правая круглая скобка больше или равно 0,  a принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; плюс бесконечность правая круглая скобка ;

 

 f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка больше f левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка  равносильно  9a левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка больше или равно 2a левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате  равносильно  a в квадрате левая круглая скобка 3 минус 2a правая круглая скобка больше или равно 0,  a принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка \cup левая квадратная скобка 3; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Значит,  f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка максимальное из оставшихся при  x принадлежит левая квадратная скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка (и еще при  a больше или равно 3, но там оно проигрывает  f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка )

Наконец, сравним  f левая круглая скобка 3 минус a правая круглая скобка и  f левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка . Это имеет смысл только на промежутке  левая круглая скобка 0; 3 правая круглая скобка , причем на  левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка второго нет и первое выиграло автоматически.

Производная функции отрицательна между  3 минус a и  a плюс 1, поэтому кто из них раньше — тот и дает большее значение функции. То есть при  a меньше 1 выигрывает второе, а при  a больше 1 первое (еще они иногда проигрывают  f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка и  f левая круглая скобка 3 правая круглая скобка , но с этим мы уже разобрались).

Получаем ответ для неотрицательных  a:

 a принадлежит левая квадратная скобка 0; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка  f_max=2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка

 

 a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби правая квадратная скобка  f_max=9a левая круглая скобка 2 минус a правая круглая скобка

 

 a принадлежит левая круглая скобка дробь: числитель: 3, знаменатель: 2 конец дроби ; 3 правая квадратная скобка  f_max=2a левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате

 

 a принадлежит левая круглая скобка 3; бесконечность правая круглая скобка  f_max=0

На стыках промежутков обе формулы дают, естественно, одинаковые значения, поэтому мы сами выбираем, куда включить концы промежутков. Особенно это заметно на примере точки 0 — в нашем решении для него ответом было  f левая круглая скобка 0 правая круглая скобка ). Осталось теперь заменить везде  a на  минус a и получить ответ для отрицательных a.

 

Ответ: При  a меньше или равно минус 3, f_max=0; при  минус 3 меньше a меньше или равно минус 1,5,f_max = минус 2a левая круглая скобка a плюс 3 правая круглая скобка в квадрате ; при  минус 1,5 меньше a меньше или равно минус 0,5,f_max = минус 9a левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка ; при  минус 0,5 меньше a меньше или равно 0,f_max=2 левая круглая скобка a минус 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка a плюс 2 правая круглая скобка ; при 0 меньше a меньше или равно 0,5,f_max= минус 2 левая круглая скобка a плюс 1 правая круглая скобка в квадрате левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка ; при 0,5 меньше a меньше или равно 1,5,f_max = минус 9a левая круглая скобка a минус 2 правая круглая скобка ; при 1,5 меньше a меньше или равно 3,f_max = 2a левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате ; при a больше 3f_max = 0.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 178.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром