PDF-версии: горизонтальная · вертикальная · крупный шрифт · с большим полем
Дано уравнение 
где [a] — целая часть числа а, т. е. наибольшее целое число, не превосходящее а; {a} — дробная часть числа а, т. е. {a} = а – [a].
а) Решите уравнение.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Обозначим 
Тогда уравнение примет вид 
Возводя в квадрат, получаем 
Значит, либо 
и 
либо 
и x — натуральное число (0 уже выбран, а отрицательным x быть не может).
б) Поскольку
и
нас устраивают следующие 
Ответ: а) 
б)
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
б) б)В пирамиде SАВС угол АSВ равен 60°, а углы ВSС и СSА — по 45°.
а) Докажите, что плоскости ВSС и АSС перпендикулярны.
б) Найдите радиус сферы вписанной в пирамиду SABC, если известно, что 
Решение. а) По теореме косинусов для трехгранного угла имеем:
Значит, плоскости перпендикулярны.
б) Треугольник 
равнобедренный с углом, противолежащим основанию, 
поэтому он — равносторонний, 
Треугольники 
и 
равны равнобедренному прямоугольному треугольнику с катетом 
по первому признаку, поэтому 
Значит, площадь поверхности пирамиды равна:
Теперь вычислим ее объем. По теореме о трех перпендикулярах проекцией S на 
должна быть такая точка 
что прямая TB перпендикулярна прямой CB и прямая TA перпендикулярна прямой CA. Тогда 
— треугольник с углами 
и 
поэтому:
Тогда:
Теперь найдём объём пирамиды SABC:
Радиус вписанной сферы равен:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 2 |
| Решение содержит обоснованный переход к планиметрической задаче, но получен неверный ответ или решение не закончено ИЛИ при правильном ответе решение недостаточно обосновано. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
Решите неравенство 
Решение. Запишем неравенство в виде:
Сразу заметим, что 
При прочих x числитель должен быть неотрицателен. Обозначив 
получим:
Очевидно, при 
будет 
а при 
функция 
возрастает, причем 
и 
поэтому нам подходят положительные 
либо до 
либо от 
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен верный ответ. | 3 |
| Обоснованно получены верные ответы в обоих неравенствах исходной системы. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в одном неравенстве исходной системы. ИЛИ получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения системы неравенств. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
а) На координатной плоскости Оху изобразите фигуру, заданную неравенством
б) Найдите площадь полученной фигуры.
Решение. а) Изобразим множество точек, где
а также множество точек, где выражение не определено. Получим 
— верхняя полуплоскость, 
— вырезанная окружность, 
— выколем начало координат, 
то есть 
— окружность с центром 
и радиусом 
При 
нужно, чтобы 
— точки лежат внутри этой окружности, но снаружи единичной. При 
все наоборот — точки внутри единичной, но снаружи этой. Сразу отметим, что эта окружность касается в начале координат прямой 
б) Найдем теперь площадь. Из объединения кругов вычтем площадь полукруга, лежащего ниже прямой и удвоенную площадь пересечения. Пересечение — сектор единичной окружности и два сегмента второй окружности. Получаем:
Ответ: 1.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б. | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б. ИЛИ Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а. ИЛИ При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки. ИЛИ Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Накануне Нового года Деды Морозы раскладывали равными количествами конфеты в подарочные пакеты, а эти пакеты складывали в мешки, по 2 пакета в один мешок. Те же самые конфеты они могли разложить в пакеты так, что в каждом из них было бы на 5 конфет меньше, чем раньше, но тогда в каждом мешке стало бы лежать по 3 пакета, а мешков при этом потребовалось бы на 2 меньше. Какое наибольшее количество конфет могли раскладывать Деды Морозы?
Решение. Допустим изначально было x пакетов по y конфет в каждом, тогда всего конфет было 2xy. По новой системе конфет будет 
Значит:
Сразу заметим, что если оба множителя отрицательны, то они по модулю меньше 6 и 15, поэтому произведение меньше 60. Если же отрицательное только одно из них — произведение отрицательно. Итак, это положительные множители числа 60. Значит, 
Выразим 
Получим 
Нас интересует максимум выражения
Производная этой функции равна:
Поэтому функция убывает при 
и возрастает при 
Поэтому осталось сравнить вариант с минимальным и максимальным 
Ответ: 2112.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 3 |
| Получено верное выражение для суммы платежа, но допущена вычислительная ошибка, приведшая к неверному ответу. | 2 |
| Получено выражение для ежегодной выплаты, но уравнение не составлено ИЛИ верный ответ найден подбором. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 3 |
Для каждого значения параметра а найдите наибольшее значение функции
Решение. Если x и a имеют разные знаки, сменим знак у x. Оно останется на 
все слагаемые, кроме последнего, сохранятся, а последнее увеличится. Заметим также, что если заменить одновременно a на 
и x на 
то ничего не изменится. Поэтому будем считать, что 
и 
Тогда модуль не нужен и функция принимает вид
(ее можно записать как 
Возьмем ее производную — наибольшее значение может быть либо в ее корнях, либо в концах отрезка 
Значит, остается выбрать максимум из следующих вариантов:
Третий вариант разрешается только при 
то есть 
Наконец,
это разрешается только при 
то есть 
Теперь сравним значения функции в этих точках. Напомним, что 
Кроме того, везде в дальнейшем будем считать неравенство верным на всех тех промежутках, где одну из его частей не надо рассматривать. Имеем:
То есть 
наибольшее, если 
или 
В остальных случаях эта точка выбывает из рассмотрения. Далее:
Значит, 
максимальное из оставшихся при 
(и еще при 
но там оно проигрывает 
)
Наконец, сравним 
и 
Это имеет смысл только на промежутке 
причем на 
второго нет и первое выиграло автоматически.
Производная функции отрицательна между 
и 
поэтому кто из них раньше — тот и дает большее значение функции. То есть при 
выигрывает второе, а при 
первое (еще они иногда проигрывают и 
но с этим мы уже разобрались).
Получаем ответ для неотрицательных 
На стыках промежутков обе формулы дают, естественно, одинаковые значения, поэтому мы сами выбираем, куда включить концы промежутков. Особенно это заметно на примере точки 0 — в нашем решении для него ответом было ). Осталось теперь заменить везде 
на 
и получить ответ для отрицательных 
Ответ: При 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
при 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получен правильный ответ. | 4 |
| Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 3 |
| Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность. | 2 |
| Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |
при при при при при при при при при при при при при при Чук и Гек поочередно извлекают из трех ящиков шары. Своим ходом каждый может взять из любого ящика (но только из одного) любое количество шаров. Выигрывает тот, кто заберет последний шар. Кто из мальчиков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника, если количество шаров в ящиках равно
а) 8, 9 и 9;
б) 1, 2 и 3;
в) 8, 9 и 10?
Решение. Будем считать, что первым ходит Чук.
а) Чук может взять все шары из первого ящика, после чего повторять ходы Гека (сколько Гек берет из одного ящика, столько чук из другого). Тогда у Чука всегда будет ход и он выиграет.
б) После хода Чука останется либо пустой ящик и два, в которых не поровну (тогда Гек делает поровну и выиграет по стратегии Чука из п.а), либо три непустых ящика, в двух из которых поровну. Тогда Гек забирает все из третьего ящика и опять же выигрывает.
в) Чук может сделать позицию (8, 9, 1), после чего играть так: если Гек берет что-то из первых двух ящиков, оставляя в ящике минимум 2 шара(если берет из первого) или 3 шара, если берет из второго, брать столько же из другого. В результате всегда будет оставаться позиция 
Разберем случаи, когда так походить нельзя:
1. если Гек берет один шар из третьего ящика, Чук берет шар из второго и оставляет Геку позицию 
затем играет по стратегии из п.а);
2. если Гек берет все шары из какого-либо ящика (первого или второго), Чук берет все кроме одного шара из другого ящика (там есть хотя бы 2 шара, поэтому так взять можно);
3. если Гек оставляет в одном из ящиков 1 шар, Чук берет все шары из другого и оставляет позицию (1, 0, 1), в которой легко выигрывает.
Ответ: а) Чук; б) Гек; в) Чук.
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты. | 4 |
| Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 3 |
| Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов. | 2 |
| Верно получен один из следующих результатов: — пример в п. а; — обоснованное решение п. б; — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1); — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 4 |