Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 521120

а) На координатной плоскости Оху изобразите фигуру, заданную неравенством  

 логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка больше 1.

б) Найдите площадь полученной фигуры.

Спрятать решение

Решение.

а) Изобразим множество точек, где  логарифм по основанию левая круглая скобка x в квадрате плюс y в квадрате правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс y правая круглая скобка =1, а также множество точек, где выражение не определено. Получим  x плюс y больше 0 — верхняя полуплоскость,  x в квадрате плюс y в квадрате не равно 1 — вырезанная окружность,  x в квадрате плюс y в квадрате больше 0 — выколем начало координат,  x в квадрате плюс y в квадрате =x плюс y, то есть  левая круглая скобка x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби  — окружность с центром  левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби ; дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка и радиусом  корень из дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби . При  x в квадрате плюс y в квадрате больше 1 нужно, чтобы  x плюс y больше x в квадрате плюс y в квадрате  — точки лежат внутри этой окружности, но снаружи единичной. При  x в квадрате плюс y в квадрате меньше 1 все наоборот — точки внутри единичной, но снаружи этой. Сразу отметим, что эта окружность касается в начале координат прямой  y= минус x.

б) Найдем теперь площадь. Из объединения кругов вычтем площадь полукруга, лежащего ниже прямой и удвоенную площадь пересечения. Пересечение — сектор единичной окружности и два сегмента второй окружности. Получаем:

 S= Пи 1 в квадрате плюс Пи умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи минус 2 умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби Пи 1 в квадрате минус 4 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби умножить на Пи умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка = Пи минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби Пи минус 4 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби Пи минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка =1.

Ответ: 1.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 178.
Классификатор планиметрии: Окружности