Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 521123

Чук и Гек поочередно извлекают из трех ящиков шары. Своим ходом каждый может взять из любого ящика (но только из одного) любое количество шаров. Выигрывает тот, кто заберет последний шар. Кто из мальчиков может обеспечить себе победу независимо от игры соперника, если количество шаров в ящиках равно

а) 8, 9 и 9; 

б) 1, 2 и 3; 

в) 8, 9 и 10?

Спрятать решение

Решение.

Будем считать, что первым ходит Чук.

а) Чук может взять все шары из первого ящика, после чего повторять ходы Гека (сколько Гек берет из одного ящика, столько чук из другого). Тогда у Чука всегда будет ход и он выиграет.

б) После хода Чука останется либо пустой ящик и два, в которых не поровну (тогда Гек делает поровну и выиграет по стратегии Чука из п.а), либо три непустых ящика, в двух из которых поровну. Тогда Гек забирает все из третьего ящика и опять же выигрывает.

в) Чук может сделать позицию (8, 9, 1), после чего играть так: если Гек берет что-то из первых двух ящиков, оставляя в ящике минимум 2 шара(если берет из первого) или 3 шара, если берет из второго, брать столько же из другого. В результате всегда будет оставаться позиция  левая круглая скобка x;x плюс 1,1 правая круглая скобка . Разберем случаи, когда так походить нельзя:

1. если Гек берет один шар из третьего ящика, Чук берет шар из второго и оставляет Геку позицию  левая круглая скобка x;x;0 правая круглая скобка , затем играет по стратегии из п.а);

2. если Гек берет все шары из какого-либо ящика (первого или второго), Чук берет все кроме одного шара из другого ящика (там есть хотя бы 2 шара, поэтому так взять можно);

3. если Гек оставляет в одном из ящиков 1 шар, Чук берет все шары из другого и оставляет позицию (1, 0, 1), в которой легко выигрывает.

 

Ответ: а) Чук; б) Гек; в) Чук.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 178.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства