PDF-версии: 1. Тип 13 № 520973 
Источники:
Классификатор алгебры: Основное тригонометрическое тождество и его следствия, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители
Методы алгебры: Группировка
Уравнения. Тригонометрические уравнения, разложение на множители
i
а) Решите уравнение 
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку 
Решение. а) Запишем исходное уравнение в виде:
б) Корни, принадлежащие отрезку 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 520973
а) б)
б) 
а высота пирамиды равна h. Тогда площадь сечения DSB равна
Площадь сечения DPQ равна
поэтому при 
неравенство принимает вид:
Учитывая ограничения 
Тогда 
поскольку является центральным углом, опирающимся на ту же дугу окружности, что и угол BAC. В равнобедренном треугольнике BOC получаем 
а в прямоугольном треугольнике BAH получаем 
Таким образом, 
Значит,
купленного у фирмы товара от цены P (в руб. за шт.) выражается формулой 
Затраты на производство Q единиц товара составляют 
рублей. Кроме затрат на производство, фирма должна платить налог t рублей 
с каждой произведённой единицы товара. Таким образом, прибыль фирмы составляет 
рублей, а общая сумма налогов, собранных государством, равна tQ рублей.
прибыль фирмы составляет
Значит, общая сумма налогов, собранных государством, будет равна 
рублей. Эта величина является квадратичной функцией от t, а её максимум достигается при t = 6000.
имеет хотя бы одно решение.
где 
поскольку 
Найдем множество значений функции 
на отрезке [0; 2]. 
на промежутке [0; 2), поэтому функция убывает на отрезке [0; 2] и, следовательно, множество ее значений на отрезке [0; 2] ― отрезок 
Таким образом, уравнение 
имеет решения тогда и только тогда, когда выполняются условия 
и рассмотрим функцию 
Ее производная 
и 
Таким образом, приходим к системе 
и/или 
при 
и задача сведена к решению двойного неравенства 
и получено, что 
и 
откуда 
То есть было пройдено 7 уровней.
и 
получаем, что 
Значит, имеются три возможности: 
или 
и было получено 47 000 очков.
то 
и было получено 48 000 очков.
то 
и было получено 49 000 очков.