PDF-версии: 1. Тип 13 № 516779 
Источники:
Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Сравнение чисел
Методы алгебры: Замена переменной
Уравнения. Показательные уравнения
i
а) Решите уравнение: 
б) Определите, какие из его корней принадлежат отрезку 
Решение. а) Пусть 
тогда исходное уравнение принимает вид 
откуда 
или 
Следовательно,
б) Поскольку 
корень 
не принадлежит отрезку Поскольку 
корень 
принадлежит отрезку
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а), ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения пункта а) и пункта б). | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 516779
а) б)
б) Классификатор алгебры: Показательные уравнения, Сравнение чисел
Методы алгебры: Замена переменной
параллельна прямой AC, то она пересекает грань ABСD по некоторой прямой FL, параллельной прямой AC. Пусть точка 
и прямая FL пересекает прямую BD в точке K а прямая KE пересекает прямую BB1 в точке P. Тогда точка пересечения прямых B1D и KE есть точка пересечения плоскости 
с диагональю B1D (см. рис. 1).
тогда 
Таким образом, 
— подобны, откуда 
что и требовалось доказать.
и 
получаем, что 
Значит, согласно теореме о трех перпендикулярах, 
Таким образом, угол PKB ― линейный угол искомого двугранного угла.
и 
из треугольника PBK находим: 
откуда 
и 
имеют одинаковые знаки.
Рассуждая аналогично, находим 
Тогда 
а значит, 
и, таким образом, 
рублей,
рублей,
получаем 
рублей.
имеет решения на отрезке 
тогда из (2): 
принадлежат два числа 
и 
тогда имеем:
Подставляя его в неравенство (2), имеем: 
откуда 
где a, b, c — натуральные числа, не превосходящие 200. Также известно, что числа a, b и c попарно отличаются друг от друга не менее, чем 
имеет корень 135. Тогда 
откуда 
а значит, число с кратно 135. Среди натуральных чисел, не больших 200, такое число только одно: 
Подставляя в (*) вместо с число 135 и сокращая на 135, получаем 
откуда 
Если 
то 
поэтому 
Найденные числа b и с отличаются на 1, что противоречит условию. Таким образом, заданное уравнение не может иметь корнем число 135. 
имеет корень 100 и полностью удовлетворяет условию задачи. 
б) нет; в) 100.