Задания
Версия для печати и копирования в MS Word

В двух об­ла­стях есть по 50 ра­бо­чих, каж­дый из ко­то­рых готов тру­дить­ся по 10 часов в сутки на до­бы­че алю­ми­ния или ни­ке­ля. В пер­вой об­ла­сти один ра­бо­чий за час до­бы­ва­ет 0,2 кг алю­ми­ния или 0,1 кг ни­ке­ля. Во вто­рой об­ла­сти для до­бы­чи x кг алю­ми­ния в день тре­бу­ет­ся x2 че­ло­ве­ко-⁠часов труда, а для до­бы­чи y кг ни­ке­ля в день тре­бу­ет­ся y2 че­ло­ве­ко-⁠часов труда.

Обе об­ла­сти по­став­ля­ют до­бы­тый ме­талл на завод, где для нужд про­мыш­лен­но­сти про­из­во­дит­ся сплав алю­ми­ния и ни­ке­ля, в ко­то­ром 1 кг алю­ми­ния при­хо­дит­ся на 2 кг ни­ке­ля. При этом об­ла­сти до­го­ва­ри­ва­ют­ся между собой вести до­бы­чу ме­тал­лов так, чтобы завод мог про­из­ве­сти наи­боль­шее ко­ли­че­ство спла­ва. Сколь­ко ки­ло­грам­мов спла­ва при таких усло­ви­ях еже­днев­но смо­жет про­из­ве­сти завод?

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

В каж­дой об­ла­сти в день может быть за­тра­че­но 500 че­ло­ве­ко-часов труда.

Пусть в пер­вой об­ла­сти на до­бы­че алю­ми­ния еже­днев­но будет за­тра­че­но х че­ло­ве­ко-часов, а во вто­рой об­ла­сти − y2 че­ло­ве­ко-часов. Со­ста­вим таб­ли­цу по дан­ным за­да­чи.

 

Алю­ми­нийНи­кель
Ко­ли­че­ство
че­ло­ве­ко-часов		Масса
ме­тал­ла за день, кг		Ко­ли­че­ство
че­ло­ве­ко-часов		Масса
ме­тал­ла за день, кг
Пер­вая об­ластьx0,2x500 минус x0,1 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 500 минус x пра­вая круг­лая скоб­ка
Вто­рая об­ластьy в квад­ра­те y500 минус y в квад­ра­те ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та
Всего0,2x плюс y50 минус 0,1x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та

 

Для про­из­вод­ства спла­ва масса до­бы­то­го алю­ми­ния долж­на быть вдвое мень­ше массы до­бы­то­го ни­ке­ля:

2 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка 0,2x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка =50 минус 0,1x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но
рав­но­силь­но 0,5x = 50 минус 2y плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та рав­но­силь­но 0,1x = 10 минус дробь: чис­ли­тель: 2y, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби . левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка

Пусть m  — масса спла­ва, она равна сумме масс до­бы­тых ме­тал­лов:

m= левая круг­лая скоб­ка 0,2x плюс y пра­вая круг­лая скоб­ка плюс левая круг­лая скоб­ка 50 минус 0,1x плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та пра­вая круг­лая скоб­ка =0,1x плюс y плюс 50 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та .

Учи­ты­вая ра­вен­ство левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка , имеем:

m левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка = левая круг­лая скоб­ка 10 минус дробь: чис­ли­тель: 2y, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка плюс y плюс 50 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та = дробь: чис­ли­тель: 3y, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 60.

Найдём наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции m левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка , где 0 мень­ше или равно y мень­ше или равно 10 ко­рень из 5 . Для этого ис­сле­ду­ем функ­цию с по­мо­щью про­из­вод­ной.

m' левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 6 умно­жить на левая круг­лая скоб­ка минус 2y пра­вая круг­лая скоб­ка , зна­ме­на­тель: 5 умно­жить на 2 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби = дробь: чис­ли­тель: 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус 6y, зна­ме­на­тель: 5 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та конец дроби .

При­рав­ня­ем про­из­вод­ную к нулю и найдём кри­ти­че­ские точки:

m' левая круг­лая скоб­ка y пра­вая круг­лая скоб­ка =0 рав­но­силь­но 3 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус y в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та минус 6y=0 рав­но­силь­но y=10

За­ме­тим, что при y=10 ра­вен­ство левая круг­лая скоб­ка * пра­вая круг­лая скоб­ка вы­пол­ня­ет­ся, если x=100.

Таким об­ра­зом, наи­боль­шее зна­че­ние функ­ции m(y) равно m левая круг­лая скоб­ка 10 пра­вая круг­лая скоб­ка = дробь: чис­ли­тель: 3 умно­жить на 10, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс дробь: чис­ли­тель: 6 ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 500 минус 10 в квад­ра­те конец ар­гу­мен­та , зна­ме­на­тель: 5 конец дроби плюс 60=90. Зна­чит, завод смо­жет про­из­во­дить 90 кг спла­ва еже­днев­но.

 

Ответ: 90.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ2
Верно по­стро­е­на ма­те­ма­ти­че­ская мо­дель1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше0
Мак­си­маль­ный балл2
Источники:
Классификатор алгебры: За­да­чи на оп­ти­маль­ный выбор
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Видеокурс · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025