ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д17 C6 № 515132 Добавить в вариант

Найдите все а, при каждом из которых система

$система выражений корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента плюс корень из: начало аргумента: левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате конец аргумента =3, левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 2a минус 8 правая круглая скобка в квадрате =a минус 3 конец системы$

имеет ровно одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Первое уравнение означает, что сумма расстояний от точки $левая круглая скобка x;y правая круглая скобка$ до точек $левая круглая скобка 3; 2 правая круглая скобка$ и $левая круглая скобка 6;2 правая круглая скобка$ равна трем. Поскольку расстояние между ними как раз равно трем, точка лежит на соединяющем их отрезке. То есть $y=2, x принадлежит левая квадратная скобка 3; 6 правая квадратная скобка .$ Значит, уравнение $левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2a минус 6 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка$ должно иметь ровно одно решение на отрезке $левая квадратная скобка 3; 6 правая квадратная скобка .$

Для этого нужно, чтобы значения функции $левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2a минус 6 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка$ в точках $3$ и $6$ имели разные знаки, либо чтобы дискриминант уравнения был равен нулю, а корень лежал на отрезке, либо чтобы одно из значений было равно нулю, а второй корень уравнения на отрезке не лежал.

Запишем первое условие:

$левая круглая скобка 9 минус 6a плюс a в квадрате плюс 4a в квадрате минус 24a плюс 36 минус a плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 36 минус 12a плюс a в квадрате плюс 4a в квадрате минус 24a плюс 36 минус a плюс 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$

$равносильно левая круглая скобка 5a в квадрате минус 31a плюс 48 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a в квадрате минус 37a плюс 75 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a минус 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a в квадрате минус 37a плюс 75 правая круглая скобка меньше 0\Rightarrow a принадлежит левая круглая скобка 3; 3,2 правая круглая скобка .$ $равносильно левая круглая скобка 5a в квадрате минус 31a плюс 48 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a в квадрате минус 37a плюс 75 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a минус 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a в квадрате минус 37a плюс 75 правая круглая скобка меньше 0\Rightarrow a принадлежит левая круглая скобка 3; 3,2 правая круглая скобка .$ $равносильно левая круглая скобка 5a в квадрате минус 31a плюс 48 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a в квадрате минус 37a плюс 75 правая круглая скобка меньше 0 равносильно$
$равносильно левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a минус 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a в квадрате минус 37a плюс 75 правая круглая скобка меньше 0\Rightarrow$
$\Rightarrow a принадлежит левая круглая скобка 3; 3,2 правая круглая скобка .$

Если $a=3,$ уравнение принимает вид $левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате =0,$ оно имеет один подходящий корень.

Если $a=3,2,$ уравнение принимает вид $x в квадрате минус 6,4a плюс \ldots,$ поэтому его сумма корней равна 6,4. Один из корней равен 6, поэтому второй равен 0,4. Эта ситуация нас устраивает.

Запишем второе условие, приравняв дискриминант к 0:

$левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка плюс 4 левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно$ $левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 13 минус 4a правая круглая скобка =0.$

То есть либо $a=3$ (уже разобрано), либо $a=3,25$ (тогда есть один корень, равный 3,25).

Ответ: $левая квадратная скобка 3; 3,2 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 3,25 правая фигурная скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен правильный ответ.	4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.	2
Решение содержит: − или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи; − или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 168

Классификатор алгебры: Неравенства с параметром

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь