Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 515132

Найдите все а, при каждом из которых система

 система выражений корень из левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате плюс корень из левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y минус 2 правая круглая скобка в квадрате =3, левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка y плюс 2a минус 8 правая круглая скобка в квадрате =a минус 3 конец системы

имеет ровно одно решение.

Спрятать решение

Решение.

Первое уравнение означает, что сумма расстояний от точки  левая круглая скобка x;y правая круглая скобка до точек  левая круглая скобка 3; 2 правая круглая скобка и  левая круглая скобка 6;2 правая круглая скобка равна трем. Поскольку расстояние между ними как раз равно трем, точка лежит на соединяющем их отрезке. То есть  y=2, x принадлежит левая квадратная скобка 3; 6 правая квадратная скобка . Значит, уравнение  левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2a минус 6 правая круглая скобка в квадрате = левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка должно иметь ровно одно решение на отрезке  левая квадратная скобка 3; 6 правая квадратная скобка .

Для этого нужно, чтобы значения функции  левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате плюс левая круглая скобка 2a минус 6 правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в точках  3 и  6 имели разные знаки, либо чтобы дискриминант уравнения был равен нулю, а корень лежал на отрезке, либо чтобы одно из значений было равно нулю, а второй корень уравнения на отрезке не лежал.

Запишем первое условие:

 левая круглая скобка 9 минус 6a плюс a в квадрате плюс 4a в квадрате минус 24a плюс 36 минус a плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 36 минус 12a плюс a в квадрате плюс 4a в квадрате минус 24a плюс 36 минус a плюс 3 правая круглая скобка меньше 0 равносильно

 

 равносильно левая круглая скобка 5a в квадрате минус 31a плюс 48 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a в квадрате минус 37a плюс 75 правая круглая скобка меньше 0 равносильно левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a минус 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 5a в квадрате минус 37a плюс 75 правая круглая скобка меньше 0\Rightarrow a принадлежит левая круглая скобка 3; 3,2 правая круглая скобка .

Если  a=3, уравнение принимает вид  левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка в квадрате =0, оно имеет один подходящий корень.

Если  a=3,2, уравнение принимает вид  x в квадрате минус 6,4a плюс \ldots, поэтому его сумма корней равна 6,4. Один из корней равен 6, поэтому второй равен 0,4. Эта ситуация нас устраивает.

Запишем второе условие, приравняв дискриминант к 0:

 левая круглая скобка x минус a правая круглая скобка в квадрате минус левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка плюс 4 левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка в квадрате =0 равносильно  левая круглая скобка a минус 3 правая круглая скобка левая круглая скобка 13 минус 4a правая круглая скобка =0.

То есть либо  a=3 (уже разобрано), либо  a=3,25 (тогда есть один корень, равный 3,25).

 

Ответ:  левая квадратная скобка 3; 3,2 правая квадратная скобка \cup левая фигурная скобка 3,25 правая фигурная скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 168.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром