Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 515133

Имеется пять палочек с длинами 2, 3, 4, 5, 6. 

а) Можно ли, используя все палочки, сложит равнобедренный треугольник?  

б) Можно ли, используя все палочки, сложить прямоугольный треугольник?  

в) Какой наименьшей площади можно сложить треугольник, используя все палочки?  

(Разламывать палочки нельзя.)

Спрятать решение

Решение.

а) Да, например  2 плюс 5,3 плюс 4,6.

б) Нет. Его периметр 20. Гипотенуза больше обоих катетов, но меньше половины периметра, поэтому ее длина должна быть 8 или 9. Проверим все возможные равенства, следующие из теоремы Пифагора

8 в квадрате =6 в квадрате плюс 6 в квадрате равносильно 8 в квадрате =7 в квадрате плюс 5 в квадрате равносильно 9 в квадрате =6 в квадрате плюс 5 в квадрате равносильно 9 в квадрате =7 в квадрате плюс 4 в квадрате равносильно 9 в квадрате =8 в квадрате плюс 3 в квадрате .

Все они неверны, поэтому прямоугольный треугольник составить нельзя.

в) Пусть его стороны a, b, c. Тогда по формуле Герона S= корень из 10 левая круглая скобка 10 минус a правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус b правая круглая скобка левая круглая скобка 10 минус c правая круглая скобка . Сумма последних трех скобок равна 10, если взять  a=2, b=3 плюс 6, c=4 плюс 5, их произведение составит 8 и площадь будет равна  корень из 80=4 корень из 5. Докажем, что это и есть правильный ответ. Если все эти скобки не меньше двух, то их произведение не меньше восьми. Значит, одна из них единица, а сумма двух других равна 9. Из вариантов  9=8 плюс 1=7 плюс 2=6 плюс 3=5 плюс 4 именно первый дает наименьшее произведение.

 

Ответ: а) да; б) нет; в) 4 корень из 5.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 168.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства