ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д19 C7 № 515118 Добавить в вариант

На доске записаны два натуральных числа: 672 и 560. За один ход разрешается любое из этих чисел заменить модулем их разности либо уменьшить вдвое (если число чётное).

а)  Может ли через несколько ходов на доске оказаться два одинаковых числа?

б)  Может ли через несколько ходов на доске оказаться число 2?

в)  Найдите наименьшее натуральное число, которое может оказаться на доске в результате выполнения таких ходов.

Спрятать решение

Решение.

а)  Да. Например так $левая круглая скобка 672,560 правая круглая скобка \Rightarrow левая круглая скобка 112,560 правая круглая скобка \Rightarrow левая круглая скобка 7,560 правая круглая скобка \Rightarrow левая круглая скобка 7,553 правая круглая скобка \ldots\Rightarrow левая круглая скобка 7,7 правая круглая скобка$ (вычитаем, делим 4 раза на 2, потом много раз вычитаем).

б)  Нет. Изначально оба числа делятся на 7, все получаемые из них результаты тоже будут кратны 7.

в)  Из пункта б) следует, что получить меньше $7$ нельзя. В п. а) построен пример получения числа 7.

Ответ: а) да; б) нет; в) 7.

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.	4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.	2
Верно получен один из следующих результатов:   — пример в п. а;   — обоснованное решение п. б;   — обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);   — обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.	0
Максимальный балл	4

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 166

Классификатор алгебры: Числа и их свойства

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь