Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д17 C6 № 515117

Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений 

 

 система выражений косинус левая круглая скобка косинус x правая круглая скобка минус косинус y= левая круглая скобка a в квадрате плюс 1 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка y минус косинус x правая круглая скобка ,2y в квадрате минус левая круглая скобка 3a минус 8 правая круглая скобка умножить на косинус x плюс a в квадрате минус 4a=0 конец системы

 

не имеет решений.

Спрятать решение

Решение.

Докажем сначала вспомогательный факт:  \abs косинус альфа минус косинус бета меньше \abs альфа минус бета при  альфа не равно бета . В самом деле,

 \abs косинус альфа минус косинус бета =2\abs синус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби \abs синус дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби меньше 2\abs синус дробь: числитель: альфа плюс бета , знаменатель: 2 конец дроби умножить на \abs дробь: числитель: альфа минус бета , знаменатель: 2 конец дроби меньше или равно \abs альфа минус бета ,

поскольку синус не превосходит единицы (в первом неравенстве мы использовали  \abs синус x меньше \absx при  x не равно 0). Тогда первое уравнение может выполняться только если  y= косинус x (поскольку  a в квадрате плюс 1 больше или равно 1). Тогда второе превращается в

 2y в квадрате минус левая круглая скобка 3a минус 8 правая круглая скобка y плюс a в квадрате минус 4a=0.

Его корни  y=a минус 4 и  y= дробь: числитель: a, знаменатель: 2 конец дроби . Чтобы не было решений, нужно, чтобы эти числа не могли быть значениями косинуса. Отсюда a меньше минус 2, 2 меньше a меньше 3, a больше 5.

 

Ответ:  левая круглая скобка минус бесконечность ; минус 2 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 2; 3 правая круглая скобка \cup левая круглая скобка 5; плюс бесконечность правая круглая скобка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Обоснованно получен правильный ответ.4
Получен верный ответ. Решение в целом верное. Обосновано найдены оба промежутка значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.3
Обосновано найден хотя бы один промежуток значений параметра из ответа к задаче, при этом возможны неточности с (не)включением концов и(или) вычислительная погрешность.2
Решение содержит:

− или верное описание расположения двух лучей и прямой из условия задачи;

− или верное получение квадратного уравнения с параметром a относительно одной из переменных.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 166.
Классификатор алгебры: Неравенства с параметром