PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 515112 
Классификатор алгебры: Логарифмические уравнения, Тригонометрические уравнения, Тригонометрические уравнения, решаемые разложением на множители, Уравнения смешанного типа
Методы алгебры: Введение замены
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу 
Решение. Обозначая 
получаем уравнение 
откуда 
или 
Значит, 
откуда 
то есть 
или 
откуда 
то есть 
б) С помощью тригонометрической окружности отберем корни на интервале Получим числа 
Ответ: а) 
б) 
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 515112
а) б)
б) 
точка Q лежит в плоскости ABCD (и, значит, на AP). Треугольники 
и 
подобны, поэтому 
Треугольники 
и 
также подобны (поскольку PD параллельна BA) и поэтому 
то есть 
— середина 
и осями, направленными по ребрам 
Тогда координаты точек будут такими: 
Уравнение плоскости 
можно составить в отрезках на осях — 
то есть 
По формуле для расстояния от точки до плоскости имеем
и упростим неравенство.
Поэтому 
лежат на одной окружности. Тогда 
равен половине дуги 
а 
— половине дуги 
то есть дуги 
поскольку хорды 
и 
равны (это радиусы изначальной окружности). Поэтому сумма этих двух углов равна 
и 
что и требовалось доказать.
так что они по-прежнему будут равны.
то радиус большой окружности равен 
радиус маленькой — 
Но в такой окружности не может быть хорды 
длиной 
Значит, точка K лежит на 
и 
Тогда 
Тогда 
такой же (углы смежные).
в один поступает 
кубометров воды в час, а в другой 
Тогда описанный в условии момент наступит через 
часов. В один бассейн за это время налилось 
кубометров и еще нальется 
а в другой налилось 
кубометров и еще нальется 
Получили систему
Подставим в первое уравнение:
при 
В самом деле, 
при 
). Тогда первое уравнение может выполняться только если 
(поскольку 
). Тогда второе превращается в 
и 
Чтобы не было решений, нужно, чтобы эти числа не могли быть значениями косинуса. Отсюда 
(вычитаем, делим 4 раза на 2, потом много раз вычитаем).
нельзя. В п. а) построен пример получения числа 7.