ЕГЭ–2025, математика профильная: задания, ответы, решения

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

Тип Д12 C3 № 515114 Добавить в вариант

Решите неравенство $дробь: числитель: 4 в степени x минус 3 умножить на 2 в степени x плюс 3, знаменатель: 2 в степени x минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: 4 в степени x минус 5 умножить на 2 в степени x плюс 3, знаменатель: 2 в степени x минус 4 конец дроби \leqslant2 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка .$

Спрятать решение

Решение.

Обозначим $t=2 в степени x$ и упростим неравенство.

$дробь: числитель: t в квадрате минус 3t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: t в квадрате минус 5t плюс 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 2t равносильно t плюс дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс t плюс дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 2t равносильно дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0$ $дробь: числитель: t в квадрате минус 3t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: t в квадрате минус 5t плюс 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 2t равносильно$
$равносильно t плюс дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс t плюс дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 2t равносильно дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0$ $дробь: числитель: t в квадрате минус 3t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: t в квадрате минус 5t плюс 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 2t равносильно$
$равносильно t плюс дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс t плюс дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 2t равносильно$
$равносильно дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 2 конец дроби плюс дробь: числитель: минус t плюс 3, знаменатель: t минус 4 конец дроби меньше или равно 0$

$дробь: числитель: левая круглая скобка минус t плюс 3 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 2 плюс t минус 4 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0 равносильно дробь: числитель: 2 левая круглая скобка 3 минус t правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 3 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка t минус 2 правая круглая скобка левая круглая скобка t минус 4 правая круглая скобка конец дроби меньше или равно 0.$

Используя метод интервалов, получаем: $t меньше 2, t=3, t больше 4.$ Поэтому $x меньше 1, x= логарифм по основанию 2 3, x больше 2.$

Ответ: $левая круглая скобка минус бесконечность ; 1 правая круглая скобка \cup левая фигурная скобка логарифм по основанию 2 3 правая фигурная скобка \cup левая круглая скобка 2; плюс бесконечность правая круглая скобка .$

Спрятать критерии

Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения задания	Баллы
Обоснованно получен верный ответ	2
Получен неверный ответ из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения неравенства	1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше	0
Максимальный балл	2

Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 166

Классификатор алгебры: Неравенства рациональные относительно показательной функции

Методы алгебры: Введение замены

Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод интервалов

Спрятать решение · Спрятать критерии · Помощь