В лет­нем ла­ге­ре 310 детей и 28 вос­пи­та­те­лей. Ав­то­бус рас­счи­тан не более чем на 40 пас­са­жи­ров. Какое наи­мень­шее ко­ли­че­ство ав­то­бу­сов по­на­до­бит­ся, чтобы за один раз пе­ре­вез­ти всех из ла­ге­ря в город?

На гра­фи­ке по­ка­зан про­цесс разо­гре­ва дви­га­те­ля лег­ко­во­го ав­то­мо­би­ля. На оси абс­цисс от­кла­ды­ва­ет­ся время в ми­ну­тах, про­шед­шее от за­пус­ка дви­га­те­ля, на оси ор­ди­нат  — тем­пе­ра­ту­ра дви­га­те­ля в гра­ду­сах Цель­сия. Опре­де­ли­те по гра­фи­ку, за сколь­ко минут дви­га­тель на­гре­ет­ся с 50 °C до 80 °C.

Най­ди­те пло­щадь квад­ра­та, изоб­ра­жен­но­го на клет­ча­той бу­ма­ге с раз­ме­ром клет­ки 1 см 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квад­рат­ных сан­ти­мет­рах.

В сбор­ни­ке би­ле­тов по био­ло­гии всего 60 би­ле­тов, в 15 из них встре­ча­ет­ся во­прос по теме "Круг­лые черви". Най­ди­те ве­ро­ят­ность того, что в слу­чай­но вы­бран­ном на эк­за­ме­не би­ле­те школь­ни­ку до­ста­нет­ся во­прос по теме "Круг­лые черви".

Най­ди­те ко­рень урав­не­ния

Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка равна Най­ди­те ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в этот тре­уголь­ник.

На ри­сун­ке изоб­ра­жен гра­фик функ­ции y  =  f(x), опре­де­лен­ной на ин­тер­ва­ле (−6; 8). Опре­де­ли­те ко­ли­че­ство целых точек, в ко­то­рых про­из­вод­ная функ­ции по­ло­жи­тель­на.

Гра­нью па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной 1 и ост­рым углом 60°. Одно из ребер па­рал­ле­ле­пи­пе­да со­став­ля­ет с этой гра­нью угол в 60° и равно 2. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Най­ди­те зна­че­ние вы­ра­же­ния

При дви­же­нии ра­ке­ты её ви­ди­мая для не­по­движ­но­го на­блю­да­те­ля длина, из­ме­ря­е­мая в мет­рах, вы­чис­ля­ет­ся по за­ко­ну где м  — длина по­ко­я­щей­ся ра­ке­ты, км/с  — ско­рость света, а   — ско­рость ра­ке­ты (в км/с). Ка­ко­ва долж­на быть ско­рость ра­ке­ты, чтобы её на­блю­да­е­мая длина стала равна 14 м? Ответ вы­ра­зи­те в км/с.

Каж­дый из двух ра­бо­чих оди­на­ко­вой ква­ли­фи­ка­ции может вы­пол­нить заказ за 13 часов. Через 1 час после того, как один из них при­сту­пил к вы­пол­не­нию за­ка­за, к нему при­со­еди­нил­ся вто­рой ра­бо­чий, и ра­бо­ту над за­ка­зом они до­ве­ли до конца уже вме­сте. Сколь­ко часов по­тре­бо­ва­лось на вы­пол­не­ние всего за­ка­за?

Най­ди­те точку ми­ни­му­ма функ­ции

а)  Ре­ши­те урав­не­ние

б)  Най­ди­те корни этого урав­не­ния, при­над­ле­жа­щие от­рез­ку

Дана пра­виль­ная тре­уголь­ная приз­ма АВСА₁В₁С₁, все рёбра ко­то­рой равны 4. Через точки A, С₁ и се­ре­ди­ну T ребра А₁В₁ про­ве­де­на плос­кость.

а)  До­ка­жи­те, что се­че­ние приз­мы ука­зан­ной плос­ко­стью яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ным тре­уголь­ни­ком.

б)  Най­ди­те угол между плос­ко­стью се­че­ния и плос­ко­стью ABC.

Ре­ши­те не­ра­вен­ство:

В пря­мо­уголь­ной тра­пе­ции ABCD с пря­мым углом при вер­ши­не A рас­по­ло­же­ны две окруж­но­сти. Одна из них ка­са­ет­ся бо­ко­вых сто­рон и боль­ше­го ос­но­ва­ния AD, вто­рая  — бо­ко­вых сто­рон, мень­ше­го ос­но­ва­ния BC и пер­вой окруж­но­сти.

а)  Пря­мая, про­хо­дя­щая через цен­тры окруж­но­стей, пе­ре­се­ка­ет ос­но­ва­ние AD в точке P. До­ка­жи­те, что

б)  Най­ди­те пло­щадь тра­пе­ции, если ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 3 и 1.

Вася меч­та­ет о соб­ствен­ной квар­ти­ре, ко­то­рая стоит 3 млн руб. Вася может ку­пить ее в кре­дит, при этом банк готов вы­дать эту сумму сразу, а по­га­шать кре­дит Васе при­дет­ся 20 лет рав­ны­ми еже­ме­сяч­ны­ми пла­те­жа­ми, при этом ему при­дет­ся вы­пла­тить сумму, на 180% пре­вы­ша­ю­щую ис­ход­ную. Вме­сто этого, Вася может какое-⁠то время сни­мать квар­ти­ру (сто­и­мость арен­ды  ― 15 тыс. руб. в месяц), от­кла­ды­вая каж­дый месяц на по­куп­ку квар­ти­ры сумму, ко­то­рая оста­нет­ся от его воз­мож­но­го пла­те­жа банку (по пер­вой схеме) после упла­ты аренд­ной платы за съем­ную квар­ти­ру. За какое время в этом слу­чае Вася смо­жет на­ко­пить на квар­ти­ру, если счи­тать, что сто­и­мость ее не из­ме­нит­ся?

Най­ди­те все зна­че­ние a, при каж­дом из ко­то­рых гра­фик функ­ции

пе­ре­се­ка­ет ось абс­цисс менее чем в трех раз­лич­ных точ­ках.

На­ту­раль­ные числа от 1 до 20 раз­би­ва­ют на че­ты­ре груп­пы, в каж­дой из ко­то­рых есть по край­ней мере два числа. Для каж­дой груп­пы на­хо­дят сумму чисел этой груп­пы. Для каж­дой пары групп на­хо­дят мо­дуль раз­но­сти най­ден­ных сумм и по­лу­чен­ные 6 чисел скла­ды­ва­ют.

а)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 0?

б)  Может ли в ре­зуль­та­те по­лу­чить­ся 1?

в)  Ка­ко­во наи­мень­шее воз­мож­ное зна­че­ние по­лу­чен­но­го ре­зуль­та­та?