Три окружности, две из которых одинакового радиуса, попарно касаются друг друга внешним образом в точках A, B и C.
а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.
б) Найдите радиус круга, вписанного в четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, O, если известно, что радиусы окружностей 6; 6 и 4, а точка O — центр меньшей из них.
а) Обозначим центры окружностей одинакового радиуса за 
и 
а центр третьей за O. Тогда точки касания лежат на сторонах 
Будем считать, что 
Очевидно, C — середина 
Заметим, что треугольники 
и 
равны по двум сторонам (радиусы окружностей) и углу между ними (углы равнобедренного треугольника 
). Поэтому 
и ABC — равнобедренный.
б) Очевидно, точки A и B делят отрезки 
и 
в одинаковом отношении (а именно в отношении радиусов окружностей). Поэтому 
и треугольники и OAB подобны с коэффициентом «радиус меньшей окружности к сумме радиусов». Тогда 
Найдем площадь OACB.
Отметим точку пересечения K прямых OC и AB. Поскольку треугольники OKB и 
подобны с коэффициентом 
получаем 
и, значит, 
Наконец, найдем радиус вписанной окружности четырехугольника OACB (она есть, так как 
из-за равенства слагаемых).
Ответ: 