Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д15 C4 № 514598

Три окружности, две из которых одинакового радиуса, попарно касаются друг друга внешним образом в точках A, B и C.

а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный.

б) Найдите радиус круга, вписанного в четырёхугольник с вершинами в точках A, B, C, O, если известно, что радиусы окружностей 6; 6 и 4, а точка O — центр меньшей из них.

Спрятать решение

Решение.

а) Обозначим центры окружностей одинакового радиуса за O_1 и O_2, а центр третьей за O. Тогда точки касания лежат на сторонах OO_1O_2. Будем считать, что A принадлежит OO_1, B принадлежит OO_2, C принадлежит O_1O_2. Очевидно, C — середина O_1O_2.

Заметим, что треугольники AO_1C и BO_2C равны по двум сторонам (радиусы окружностей) и углу между ними (углы равнобедренного треугольника OO_1O_2). Поэтому AC=BC и ABC — равнобедренный.

б) Очевидно, точки A и B делят отрезки OO_1 и OO_2 в одинаковом отношении (а именно в отношении радиусов окружностей). Поэтому AB\parallel O_1O_2, и треугольники OO_1O_2 и OAB подобны с коэффициентом «радиус меньшей окружности к сумме радиусов». Тогда OC\perp AB.

Найдем площадь OACB.

S_OACB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби OC умножить на AB= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на корень из OO_2 в квадрате минус O_2C в квадрате умножить на дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби O_1O_2= дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби умножить на корень из 10 в квадрате минус 6 в квадрате умножить на 12= дробь: числитель: 96, знаменатель: 5 конец дроби .

Отметим точку пересечения K прямых OC и AB. Поскольку треугольники OKB и OCO_2 подобны с коэффициентом  дробь: числитель: 2, знаменатель: 5 конец дроби , получаем KB= дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби , KC=OC минус OK= дробь: числитель: 3, знаменатель: 5 конец дроби OC= дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 конец дроби и, значит, BC= корень из KB в квадрате плюс KC в квадрате = дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби корень из 5.

Наконец, найдем радиус вписанной окружности четырехугольника OACB (она есть, так как OA плюс BC=OB плюс AC из-за равенства слагаемых).

r= дробь: числитель: S, знаменатель: p конец дроби = дробь: числитель: 96, знаменатель: 5 левая круглая скобка OB плюс BC правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 96, знаменатель: 5 левая круглая скобка 4 плюс дробь: числитель: 12, знаменатель: 5 конец дроби корень из 5 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 96, знаменатель: 20 плюс 12 корень из 5 конец дроби = дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 плюс 3 корень из 5 конец дроби .

 

Ответ:  дробь: числитель: 24, знаменатель: 5 плюс 3 корень из 5 конец дроби .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта а и обоснованно получен верный ответ в пункте б.3
Получен обоснованный ответ в пункте б.

ИЛИ

Имеется верное доказательство утверждения пункта а и при обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а.

ИЛИ

При обоснованном решении пункта б получен неверный ответ из-за арифметической ошибки.

ИЛИ

Обоснованно получен верный ответ в пункте б и использованием утверждения пункта а, при этом пункт а не выполнен.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл3
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 160.