Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 514601

Целые числа a1, a2, a3, a4 четырьмя последовательными членами арифметической прогрессии. 

а) Может ли разность дробей  дробь: числитель: a_2, знаменатель: a_1 конец дроби и  дробь: числитель: a_4, знаменатель: a_3 конец дроби равняться  дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби ?

б) Может ли разность дробей  дробь: числитель: a_2, знаменатель: a_1 конец дроби и  дробь: числитель: a_4, знаменатель: a_3 конец дроби равняться  дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби ?

в) Найдите все возможные целые значения разности дробей  дробь: числитель: a_2, знаменатель: a_1 конец дроби и  дробь: числитель: a_4, знаменатель: a_3 конец дроби .

Спрятать решение

Решение.

а) Пусть первый член прогрессии a, а ее знаменатель d. Тогда  дробь: числитель: a плюс d, знаменатель: a конец дроби минус дробь: числитель: a плюс 3d, знаменатель: a плюс 2d конец дроби = дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби , откуда 8d в квадрате =3a в квадрате плюс 6ad. Обозначая t= дробь: числитель: a, знаменатель: d конец дроби , получим 3t в квадрате плюс 6t минус 8=0. У этого уравнения нет рациональных корней.

б) Да, это возможно, например  дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 8 конец дроби = дробь: числитель: 9, знаменатель: 8 конец дроби .

в) Ясно, что при d=0 разность будет 0. В дальнейшем считаем d не равно 0. Будем сразу считать, что a и d взаимно просты (иначе сократим их на их наибольший общий делитель, все отношения не изменятся и это по-прежнему будет прогрессия).

 дробь: числитель: a плюс d, знаменатель: a конец дроби минус дробь: числитель: a плюс 3d, знаменатель: a плюс 2d конец дроби = дробь: числитель: 2d в квадрате , знаменатель: a левая круглая скобка a плюс 2d правая круглая скобка конец дроби ,

поскольку это по условию целое число, то 2 делится на a, то есть a=1 или a=2.

Если a=1, то  дробь: числитель: 2d в квадрате , знаменатель: 2d плюс 1 конец дроби =d минус дробь: числитель: d, знаменатель: 2d плюс 1 конец дроби  — нецелое число (так как 0 меньше |d| меньше |2d плюс 1|) за исключением случая d= минус 1, при котором разность равна  минус 2 (прогрессия 1, 0, −1, −2).

Если a=2, то  дробь: числитель: d в квадрате , знаменатель: 2d плюс 2 конец дроби должно быть целым. Тогда и  дробь: числитель: d в квадрате , знаменатель: d плюс 1 конец дроби =d плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: d плюс 1 конец дроби должно быть целым, поэтому d=0 или d= минус 2. В этом последнем случае a и d не взаимно просты, его можно не разбирать.

 

Ответ: 0; −2.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующий результатов:

— обоснованное решение в п. а;

— пример в п. б;

— искомая оценка в п. в;

— пример в п. в, обеспечивающий точность предыдущей оценки.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 160.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства