PDF-версии: 1. Тип Д8 C1 № 514595 
Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Уравнения высших степеней
Методы алгебры: Введение замены
Уравнения, системы уравнений. Сложные уравнения смешанного типа
i
Дано уравнение 
а) Решите уравнение.
б) Найдите его корни, принадлежащие отрезку 
Решение. а) Сделаем замену 
Получим
б) Очевидно, 
поэтому на указанном отрезке лежит только 
Ответ: а) 
б)
Критерии проверки:
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах. | 2 |
| Обоснованно получен верный ответ в пункте а, или в пункте б. ИЛИ получены неверные ответы из-за вычислительной ошибки, но при этом имеется верная последовательность всех шагов решения обоих пунктов — пункта а и пункта б. | 1 |
| Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше. | 0 |
| Максимальный балл | 2 |
Ответ: а) б)
б) 514595
а) б)
б) Классификатор алгебры: Иррациональные уравнения, Уравнения высших степеней
Методы алгебры: Введение замены
Эти плоскости пересекаются по прямой 
Опустим на нее перпендикуляры из точек 
и 
Они упадут в середину K отрезка 
поскольку треугольники 
и 
равнобедренные. Тогда в треугольнике 
имеем
Тогда 
Поделив неравенство на это выражение, получим 
Сделаем замену 
получим 
Неравенство обращается в равенство.
Тогда 
Поделив неравенство на это выражение, получим 
Сделаем замену 
— невозможно.
и 
а центр третьей за O. Тогда точки касания лежат на сторонах 
Будем считать, что 
Очевидно, C — середина 
и 
равны по двум сторонам (радиусы окружностей) и углу между ними (углы равнобедренного треугольника 
). Поэтому 
и ABC — равнобедренный.
и 
в одинаковом отношении (а именно в отношении радиусов окружностей). Поэтому 
и треугольники 
подобны с коэффициентом 
получаем 
и, значит, 
из-за равенства слагаемых). 
Тогда из первого условия 
то есть 
Значит, время остановки составит 
и за это время второй проедет 90 километров.
Поэтому точка встречи делит оставшиеся 
километров в том же отношении, поэтому 
и, следовательно, 
Тогда каждому значению t, 
соответствуют три значения x на указанном промежутке, каждому значению t, 
или 
— два значения, а 
— одно значение.
При этих условиях уравнение равносильно 
то вторая скобка не даст новых корней, если же нет, то она не даст корней, равных корням первой скобки. Значит, она должна дать ровно два корня, поэтому 
и 
и 
равняться 
откуда 
Обозначая 
получим 
У этого уравнения нет рациональных корней.
разность будет 0. В дальнейшем считаем 
Будем сразу считать, что a и d взаимно просты (иначе сократим их на их наибольший общий делитель, все отношения не изменятся и это по-прежнему будет прогрессия).
или 
то 
— нецелое число (так как 
) за исключением случая 
при котором разность равна 
(прогрессия 1, 0, −1, −2).
то 
должно быть целым. Тогда и 
должно быть целым, поэтому 
В этом последнем случае a и d не взаимно просты, его можно не разбирать.