Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Тип Д12 C3 № 514576
i

Ре­ши­те не­ра­вен­ство дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 минус ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус 4x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка конец дроби \leqslant1.

Спрятать решение

Ре­ше­ние.

Обо­зна­чим t= ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус 4x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка =t. Сразу от­ме­тим, что x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;1 пра­вая круг­лая скоб­ка , x не равно 0, x не равно дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби .

По­лу­чим дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 минус t конец дроби мень­ше или равно 1, от­ку­да t боль­ше 2 или t мень­ше или равно 1. Решим оба не­ра­вен­ства (за­ме­тим, кста­ти, что 1 минус x в квад­ра­те мень­ше 1).

Слу­чай 1. ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус 4x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно 1.

ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус 4x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше или равно ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка ,

4x в квад­ра­те минус 4x плюс 1 боль­ше или равно 1 минус x в квад­ра­те ,

левая круг­лая скоб­ка 5x минус 4 пра­вая круг­лая скоб­ка x боль­ше или равно 0,

x боль­ше дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби илиx мень­ше 0.

Учи­ты­вая усло­вия на x, по­лу­ча­ем минус 1 мень­ше x мень­ше 0, дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби мень­ше или равно x мень­ше 1.

Слу­чай 2. ло­га­рифм по ос­но­ва­нию левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка 4x в квад­ра­те минус 4x плюс 1 пра­вая круг­лая скоб­ка боль­ше 2.

4x в квад­ра­те минус 4x плюс 1 мень­ше левая круг­лая скоб­ка 1 минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те ,

левая круг­лая скоб­ка 2x минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те минус левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка в квад­ра­те мень­ше 0,

левая круг­лая скоб­ка 2x минус x в квад­ра­те пра­вая круг­лая скоб­ка левая круг­лая скоб­ка x в квад­ра­те плюс 2x минус 2 пра­вая круг­лая скоб­ка мень­ше 0.

По­сколь­ку нас ин­те­ре­су­ют толь­ко x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка , пер­вый мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен.

x в квад­ра­те плюс 2x минус 2 мень­ше 0,

минус 1 минус ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та мень­ше x мень­ше минус 1 плюс ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та .

Учи­ты­вая усло­вия на x, по­лу­ча­ем 0 мень­ше x мень­ше дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби , дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби мень­ше x мень­ше ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1. За­ме­тим, кста­ти, что ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 мень­ше 0,74 мень­ше 0,8= дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби .

 

Ответ: x при­над­ле­жит левая круг­лая скоб­ка минус 1;0 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка 0; дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая круг­лая скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 1, зна­ме­на­тель: 2 конец дроби ; ко­рень из: на­ча­ло ар­гу­мен­та: 3 конец ар­гу­мен­та минус 1 пра­вая круг­лая скоб­ка \cup левая квад­рат­ная скоб­ка дробь: чис­ли­тель: 4, зна­ме­на­тель: 5 конец дроби ;1 пра­вая круг­лая скоб­ка .

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Кри­те­рии оце­ни­ва­ния вы­пол­не­ния за­да­нияБаллы
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ.3
Обос­но­ван­но по­лу­че­ны вер­ные от­ве­ты в обоих не­ра­вен­ствах ис­ход­ной си­сте­мы.2
Обос­но­ван­но по­лу­чен вер­ный ответ в одном не­ра­вен­стве ис­ход­ной си­сте­мы.

ИЛИ

по­лу­чен не­вер­ный ответ из-за вы­чис­ли­тель­ной ошиб­ки, но при этом име­ет­ся вер­ная по­сле­до­ва­тель­ность всех шагов ре­ше­ния си­сте­мы не­ра­венств.

1
Ре­ше­ние не со­от­вет­ству­ет ни од­но­му из кри­те­ри­ев, пе­ре­чис­лен­ных выше.0
Мак­си­маль­ный балл3
Источник: А. Ларин: Тре­ни­ро­воч­ный ва­ри­ант № 157
Классификатор алгебры: Не­ра­вен­ства с ло­га­риф­ма­ми по пе­ре­мен­но­му ос­но­ва­нию, Не­ра­вен­ства, ра­ци­о­наль­ные от­но­си­тель­но ло­га­риф­ми­че­ской функ­ции
Методы алгебры: Вве­де­ние за­ме­ны
Кодификатор ФИПИ/Решу ЕГЭ: 2.2.9 Метод ин­тер­ва­лов
Спрятать решение · КритерииСпрятать критерии · Помощь


О про­ек­те · Ре­дак­ция · Пра­во­вая ин­фор­ма­ция · О ре­кла­ме
© Гущин Д. Д., 2011—2025