Ре­ше­ние. а)  Усло­вие рав­но­силь­но тому, что и Зна­чит, или

б)  На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежит

Ответ: а) или б)

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку PM  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка то по­это­му точки P, M, B, C лежат в одной плос­ко­сти.

б)  Про­длим CM и BP до пе­ре­се­че­ния с пря­мой в точке E (оче­вид­но, точка у обеих пря­мых одна и та же, при­чем по­сколь­ку то   — сред­няя линия EAC и баллы ана­ло­гич­но со вто­рой пря­мой)

Тогда

по­это­му от­но­ше­ние объ­е­мов равно Чис­ло­вые дан­ные в этой за­да­че не нужны.

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим Сразу от­ме­тим, что

По­лу­чим от­ку­да или Решим оба не­ра­вен­ства (за­ме­тим, кста­ти, что ).

Слу­чай 1.

Учи­ты­вая усло­вия на x, по­лу­ча­ем

Слу­чай 2.

По­сколь­ку нас ин­те­ре­су­ют толь­ко пер­вый мно­жи­тель по­ло­жи­те­лен.

Учи­ты­вая усло­вия на x, по­лу­ча­ем За­ме­тим, кста­ти, что

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  По­сколь­ку KE  — сред­няя линия тре­уголь­ни­ка ABD, то Ана­ло­гич­но по­это­му тре­уголь­ни­ки AKE и MCP имеют сум­мар­ную пло­щадь Ана­ло­гич­но и тре­уголь­ни­ки BKM и EPD. Зна­чит, на долю KMPE при­хо­дит­ся что и тре­бо­ва­лось.

б)  Как сле­ду­ет из рас­суж­де­ний пунк­та a, и по­это­му KMPE  — па­рал­ле­ло­грамм. При­чем

Зна­чит, от­ку­да углы па­рал­ле­ло­грам­ма  — 60° и 120°. В таком слу­чае его боль­шая диа­го­наль равна по тео­ре­ме ко­си­ну­сов

Ответ:

Ре­ше­ние. Обо­зна­чим раз­мер кре­ди­та за 4x. Тогда 3x пой­дет на стро­и­тель­ство и при­не­сет при­быль от 1,08x до 1,32x, а x на услу­ги и при­не­сет при­быль от 0,2x до 0,24x, по­это­му общая при­быль со­ста­вит от 1,28x до 1,56x.

Фирма же хочет по­лу­чить при­быль в раз­ме­ре от 0,52x до 0,84x. Зна­чит, надо вы­пла­тить банку (в до­пол­не­ние к сумме кре­ди­та, то есть из при­бы­ли) не менее 1,56x-0,84x=0,72x (иначе при самой боль­шой при­бы­ли фирма не уло­жит­ся в гра­ни­цы), но не более 1,28x-0,52x=0,76x (иначе при самой ма­лень­кой при­бы­ли оста­ток при­бы­ли будет слиш­ком мал). Любая вы­пла­та в диа­па­зо­не [0,72x; 0,76x] под­хо­дит. В саом деле, пусть по­лу­че­на при­быль a и вы­бра­на вы­пла­та b. Тогда и

Для таких вы­плат про­цент­ная став­ка долж­на быть от 18% до 19%.

Ответ: 18%,19%.

Ре­ше­ние. От­ме­тим, что и при и при Кроме того, при это вы­ра­же­ние мень­ше еди­ни­цы, а при   — боль­ше еди­ни­цы. Раз­бе­рем два слу­чая.

1)   Не­ра­вен­ство тогда рав­но­силь­но при усло­вии

При это дает при это дает или

2)   Не­ра­вен­ство тогда рав­но­силь­но при усло­вии

По­это­му

Ответ: При

при или

при ре­ше­ний нет,

при

Ре­ше­ние. а)  Да, на­при­мер,

б)  Нет. Если оно при де­ле­нии на 10 дает оста­ток 6, то оно кон­ча­ет­ся на 6 и при де­ле­нии на 5 дает оста­ток 1 а не 4.

в)  При­ба­вим к этому числу еди­ни­цу. По­лу­чим число, ко­то­рое крат­но всем чис­лам от 2 до 10. Это как ми­ни­мум их наи­мень­шее общее крат­ное, то есть по­это­му ответ на ис­ход­ную за­да­чу 2519.

Ответ: а) да; б) нет; в) 2519.