Ре­ше­ние. а)  Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние

б)  На ука­зан­ном про­ме­жут­ке лежит

Ответ: а) б)

Ре­ше­ние. а)  Про­длим пря­мую CP до пе­ре­се­че­ния с пря­мой AD в точке E. Тогда AP  — сред­няя линия в тре­уголь­ни­ке ECD (па­рал­лель­на ос­но­ва­нию и равна его по­ло­ви­не), зна­чит,

Пусть K  — точка пе­ре­се­че­ния и Оче­вид­но, K  — се­ре­ди­на Се­че­ние  — тра­пе­ция

по­это­му от­но­ше­ние объ­е­мов равно

б)  Оче­вид­но,

По тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка CDE имеем

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка имеем

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра для тре­уголь­ни­ка имеем

Итак, тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный, а его вы­со­та к ос­но­ва­нию равна

Окон­ча­тель­но имеем

Ответ:

Ре­ше­ние. ОДЗ не­ра­вен­ства или

Ра­ци­о­на­ли­зи­ру­ем не­ра­вен­ство

C уче­том ОДЗ по­лу­ча­ем

Ответ:

Ре­ше­ние. а)  Про­ве­дем ме­ди­а­ну (она прой­дет через точку O) и про­длим ее (до точки K) за точку на рас­сто­я­ние Тогда че­ты­рех­уголь­ник AOBK  — па­рал­ле­ло­грамм (его диа­го­на­ли де­лят­ся по­по­лам точ­кой пе­ре­се­че­ния))с пря­мым углом, по­это­му его диа­го­на­ли равны, то есть что и тре­бо­ва­лось.

б)  Пусть По тео­ре­ме пи­фа­го­ра имеем от­ку­да

Ана­ло­гич­но Решая эти урав­не­ния, на­хо­дим

Тогда

Ответ:

Ре­ше­ние. Пусть раз­мер кре­ди­та N мил­ли­о­нов, а пла­теж за вто­рой и чет­вер­тый год равен A.

Со­ста­вим таб­ли­цу:

	Долг на на­ча­ло года	Долг в се­ре­ди­не года	Вы­пла­та в конце года
1-й год	N
2-й год	N		A
3-й год
4-й год			A

Тогда от­ку­да

По­это­му общая сумма вы­плат будет равна

По усло­вию от­ку­да Учи­ты­вая, что N  — целое число, наи­мень­шее зна­че­ние

Ответ: 77 мил­ли­о­нов.

Ре­ше­ние. От­ме­тим точки, ко­ор­ди­на­ты ко­то­рых удо­вле­тво­ря­ют си­сте­ме. Пер­вое урав­не­ние за­да­ет пря­мую, про­хо­дя­щую через точку и па­рал­лель­ную пря­мой вто­рое  — окруж­ность ра­ди­у­са 1 и окруж­ность ра­ди­у­са при (при по­лу­ча­ет­ся точка).

Те­перь раз­бе­рем слу­чаи.

1)   Оче­вид­но, пря­мая пе­ре­се­ка­ет окруж­ность ра­ди­у­са 1 при а при пря­мая ка­са­ет­ся окруж­но­сти в точке

По­это­му под­хо­дят

2)   Пря­мая пе­ре­се­ка­ет окруж­ность в двух точ­ках и еще про­хо­дит через точку   — итого три точки.

3)   Пря­мая пе­ре­се­ка­ет окруж­ность ра­ди­у­са 1 в двух точ­ках, по­это­му не долж­на пе­ре­сечь окруж­ность ра­ди­у­са

То есть рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до этой пря­мой (рав­ное ) долж­но быть боль­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти

Это не­воз­мож­но, по­это­му такие a не под­хо­дят.

4)   Тогда окруж­но­сти сов­па­да­ют и точек пе­ре­се­че­ния дей­стви­тель­но две.

5)   Тогда пря­мая ка­са­ет­ся одной окруж­но­сти, но не ка­са­ет­ся вто­рой. Это не под­хо­дит.

6)   Пря­мая не пе­ре­се­ка­ет окруж­ность ра­ди­у­са 1, по­это­му долж­на пе­ре­сечь окруж­ность ра­ди­у­са в двух точ­ках. То есть рас­сто­я­ние от цен­тра окруж­но­сти до этой пря­мой (рав­ное ) долж­но быть мень­ше ра­ди­у­са окруж­но­сти

Итак, под­хо­дят

Ответ:

Ре­ше­ние. Сумма всех чисел на до­ми­нош­ках равна 8(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6)  =  168.

а)  Да, это воз­мож­но. На­при­мер

6-0

6-6

6-5, 6-1

6-4, 6-3, 5-0

6-2, 5-5, 5-4, 3-0

5-3, 5-2, 5-1, 4-4, 4-3

Осталь­ные.

б)  Если сумма в пятой кучке равна x, то сумма всех чисел равна но не крат­но 9.

в)  Пусть в пер­вой кучке сумма x, всего кучек n и раз­ность про­грес­сии равна Тогда

Если число кучек не­чет­но, то 168 долж­но де­лить­ся на Из не­чет­ных чисел, боль­ших оно де­лит­ся лишь на од­на­ко если есть 21 кучка, то сред­няя из них имеет раз­мер что не­воз­мож­но.

Если же это число четно, то 336 долж­но де­лить­ся на При этом от­ку­да Но на 18 число 336 не де­лит­ся.

Пусть тогда возь­мем Это воз­мож­но, вот раз­би­е­ние на кучки:

0-3

0-4

0-5

0-6

1-6

2-6

3-6

4-6

5-6

6-6

5-5, 1-2

5-4, 1-4

5-3, 5-2

5-1, 4-4, 1-1

4-3, 4-2, 2-2,

3-3, 3-2, 3-1, 2-0, 1-0, 0-0

Ответ: а)  да; б)  нет; в)  16.