Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д19 C7 № 514064

Определите, имеют ли общие члены две последовательности 

а)  3; 16; 29; 42;… и 2; 19; 36; 53;…   

б)  5; 16; 27; 38;… и 8; 19; 30; 41;…   

в)  Определите, какое наибольшее количество общих членов может быть у двух арифметических прогрессий  1; …; 100 и 9; …; 999,  если известно, что у каждой из них разность является целым числом, отличным от 1.

Спрятать решение

Решение.

а)  Первая последовательность имеет вид 3 плюс 13 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , вторая  — 2 плюс 17 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка . Поскольку

172=3 плюс 13 умножить на 13=2 плюс 10 умножить на 17,

оно встретится в обеих последовательностях.

б)  Первая последовательность имеет вид 5 плюс 11 левая круглая скобка n минус 1 правая круглая скобка , вторая  — 8 плюс 11 левая круглая скобка k минус 1 правая круглая скобка . Поэтому члены первой последовательности всегда дают остаток 5 при делении на 11, а второй  — остаток 8. Значит, они не совпадают.

в)  Поскольку разность любых двух членов прогрессии из натуральных чисел делится на разность прогрессии, то 99 кратно разности первой прогрессии, а 990 кратно разности второй прогрессии. Наименьший возможный делитель числа 99 равен 3, что дает прогрессию 1,4,7,10,\ldots,100. Если в качестве второй взять прогрессию 9,11,13,\ldots,999, то совпадут числа 13,19,25,\ldots,97. Их 14.

Если взять другую вторую прогрессию, то число 10 точно в нее не войдет, а из каждой пары чисел  левая круглая скобка 13,16 правая круглая скобка , левая круглая скобка 19, 22 правая круглая скобка ,\ldots, левая круглая скобка 97,100 правая круглая скобка войдет не более одного числа (иначе ее разность была бы делителем числа 3, значит, равна трем, но тогда это прогрессия 9,12,15,\ldots, у нее с первой вообще нет общих членов).

Если же взять другую первую прогрессию, то ее разность минимум 9, поэтому у нее всего не более  дробь: числитель: 100 минус 1, знаменатель: 9 конец дроби плюс 1=12 членов.

 

Ответ: а) да, б) нет, в) 14.

Спрятать критерии
Критерии проверки:

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Верно получены все перечисленные (см. критерий на 1 балл) результаты.4
Верно получены три из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.3
Верно получены два из перечисленных (см. критерий на 1 балл) результатов.2
Верно получен один из следующих результатов:

— пример в п. а;

— обоснованное решение п. б;

— обоснование в п. в того, что S может принимать все целые значения (отличные от −1 и 1);

— обоснование в п. в того, что равенства S = −1 и S = 1 невозможны.

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше.0
Максимальный балл4
Источник: А. Ларин: Тренировочный вариант № 153.
Классификатор алгебры: Числа и их свойства