Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 508256

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что KN=8 корень из { 2} и ∠KMN = 45°.

Спрятать решение

Решение.

а) Углы NAK и NBK, опирающиеся на отрезок KN, равны, значит, точки A, B, N и K лежат на одной окружности, а, следовательно, равны и вписанные углы ABK и ANK этой окружности, опирающиеся на дугу AK, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники KMB и NMA имеют общий угол KMN, следовательно, они подобны, откуда  дробь, числитель — AM, знаменатель — BM = дробь, числитель — MN, знаменатель — MK или  дробь, числитель — AM, знаменатель — MN = дробь, числитель — BM, знаменатель — MK , но тогда и треугольники KMN и BMA также подобны, причем коэффициент подобия равен  дробь, числитель — AM, знаменатель — MN = дробь, числитель — BM, знаменатель — MK = косинус \angle KMN, откуда

AB=KN косинус \angle KMN=8 корень из { 2} косинус 45 в степени circ =8.

Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABM равен

R= дробь, числитель — AB, знаменатель — 2 синус \angle AMB = дробь, числитель — 8, знаменатель — 2 синус 45{ в степени circ }=4 корень из { 2}.

 

Ответ: 4 корень из { 2}.


Аналоги к заданию № 508235: 508256 509066 511508 511509 511587 Все

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 2., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 2.
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники