Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задание 16 № 508235

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AP и CQ.

а) Докажите, что угол PAC равен углу PQC.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если известно, что PQ = 8 и ∠ABC = 60°.

Решение.

а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда  дробь, числитель — BQ, знаменатель — BP = дробь, числитель — BC, знаменатель — BA или  дробь, числитель — BQ, знаменатель — BC = дробь, числитель — BP, знаменатель — BA , но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен  дробь, числитель — BQ, знаменатель — BC = дробь, числитель — BP, знаменатель — BA = косинус \angle ABC, откуда AC= дробь, числитель — PQ, знаменатель — косинус \angle ABC = дробь, числитель — 8, знаменатель — косинус 60 в степени circ =16. Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен R= дробь, числитель — AC, знаменатель — 2 синус \angle ABC = дробь, числитель — 16, знаменатель — 2 синус 60 в степени circ = дробь, числитель — 16, знаменатель — корень из { 3 }.

 

Ответ:  дробь, числитель — 16, знаменатель — корень из { 3 }.


Аналоги к заданию № 508235: 508256 509066 511508 511509 511587 Все

Источник: Пробный экзамен Санкт-Петербург 2015. Вариант 1., Пробный экзамен по математике Санкт-Петербург 2015. Вариант 1.
Методы геометрии: Углы в окружностях {центр., впис., опирающиеся на одну дугу}
Классификатор планиметрии: Окружности и треугольники