СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 501557

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 16 и 34 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 15, средняя линия трапеции равна 30. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Решение.

Докажем сначала, что отрезок, соединяющий середины диагоналей любой трапеции, равен полуразности оснований.

Действительно, рассмотрим произвольную трапецию с основаниями Пусть и — середины её диагоналей и a — середина боковой стороны Тогда и — средние линии треугольников и поэтому и а так как то Значит, точки и лежат на одной прямой. Следовательно,

что и требовалось доказать. Этот факт можно считать известным.

 

Перейдём к нашей задаче. Предположим, что > Тогда точки и лежат по одну сторону от прямой и Через вершину проведём прямую, параллельную боковой стороне Пусть эта прямая пересекается с прямой в точке Тогда

Треугольник — прямоугольный, так как

значит, прямые и перпендикулярны.

Из системы

находим, что

Треугольник подобен прямоугольному треугольнику (по двум углам) с коэффициентом значит,

Пусть — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник Тогда

Пусть теперь

Тогда точки и лежат по разные стороны от прямой В этом случае Пусть прямая, проведённая через точку параллельно пересекает прямую в точке Тогда треугольник подобен прямоугольному треугольнику с коэффициентом поэтому

Пусть — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник Тогда

 

Ответ: 3 или 9.

 

Приведём другое решение.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей равен полуразности большего и меньшего оснований трапеции, а средняя линия равна их полусумме. Пусть меньшее основание, а — большее. Тогда откуда

Рассмотрим случай 1. Найдём высоту трапеции. Пусть и — высоты трапеции. Тогда из прямоугольных треугольников и имеем: Пусть тогда (см. рис.), поскольку имеем :

 

Следовательно, точка совпадает с точкой трапеция является прямоугольной (см. рис.). Продолжим и до пересечения в точке с коэффициентом подобия тогда искомый радиус окружности

Рассмотрим случай 2 (Точка лежит на продолжении основания ). Найдём высоту трапеции. Аналогично случаю 1 имеем:

В этом случае также совпадает с что исследовано в предыдущем случае.

В случае 3 () имеем

аналогично в случае 4.

 

Ответ: 3 или 9.


Аналоги к заданию № 500015: 500021 500470 501551 501557 505243 511332 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и четырёхугольники