СДАМ ГИА: РЕШУ ЕГЭ
Образовательный портал для подготовки к экзаменам
Математика профильного уровня
≡ математика
сайты - меню - вход - новости


Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 501551

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 7 и 25 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 60. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Решение.

Докажем сначала, что отрезок, соединяющий середины диагоналей любой трапеции, равен полуразности оснований. Действительно, рассмотрим произвольную трапецию с основаниями

Пусть и — середины её диагоналей и , a — середина боковой стороны Тогда и — средние линии треугольников и поэтому и а так как то Значит, точки и лежат на одной прямой. Следовательно,

что и требовалось доказать. Этот факт можно считать известным.

Перейдём к нашей задаче. Предположим, что

Тогда точки и лежат по одну сторону от прямой и Через вершину проведём прямую, параллельную боковой стороне Пусть эта прямая пересекается с прямой в точке Тогда

Треугольник — прямоугольный, так как

значит, прямые и перпендикулярны.

Из системы

находим, что

Треугольник подобен прямоугольному треугольнику (по двум углам) с коэффициентом значит,

Пусть — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник Тогда

Пусть теперь

Тогда точки и лежат по разные стороны от прямой В этом случае Пусть прямая, проведённая через точку параллельно пересекает прямую в точке Тогда треугольник подобен прямоугольному треугольнику с коэффициентом поэтому

Пусть — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник Тогда

 

Ответ: 6 или 9.


Аналоги к заданию № 500015: 500021 500470 501551 501557 505243 511332 Все

Раздел кодификатора ФИПИ/Решу ЕГЭ: Окружности и четырёхугольники