Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 7 и 25 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 60. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.
Докажем сначала, что отрезок, соединяющий середины диагоналей любой трапеции, равен полуразности оснований. Действительно, рассмотрим произвольную трапецию XYZT с основаниями 
Пусть G и H — середины её диагоналей XZ и YT, a Q — середина боковой стороны 
Тогда GQ и HQ — средние линии треугольников XZT и YZT, поэтому 
и 
а так как 
то 
Значит, точки 
и Q лежат на одной прямой. Следовательно,
что и требовалось доказать. Этот факт можно считать известным.
Перейдём к нашей задаче. Предположим, что 
Тогда точки A и L лежат по одну сторону от прямой KN и 
Через вершину 
проведём прямую, параллельную боковой стороне 
Пусть эта прямая пересекается с прямой KN в точке 
Тогда
Треугольник BMN — прямоугольный, так как
значит, прямые AK и KN перпендикулярны.
Из системы
находим, что 
Треугольник ALM подобен прямоугольному треугольнику MBN (по двум углам) с коэффициентом 
значит,
Пусть r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник 
Тогда
Пусть теперь 
Тогда точки A и L лежат по разные стороны от прямой 
В этом случае 
Пусть прямая, проведённая через точку N параллельно KL, пересекает прямую LM в точке 
Тогда треугольник ALM подобен прямоугольному треугольнику NCM с коэффициентом 
поэтому
Пусть r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник Тогда
Ответ: 6 или 9.