Задания
Версия для печати и копирования в MS Word
Задания Д11 C4 № 501551

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 7 и 25 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 60. Прямые KL и MN пересекаются в точке А. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM.

Решение.

Докажем сначала, что отрезок, соединяющий середины диагоналей любой трапеции, равен полуразности оснований. Действительно, рассмотрим произвольную трапецию XYZT с основаниями XT больше YZ.

Пусть G и H — середины её диагоналей XZ и YT, a Q — середина боковой стороны ZT. Тогда GQ и HQ — средние линии треугольников XZT и YZT, поэтому GQ||XT и  HQ || YZ, а так как  YZ || XT, то  HQ ||XT. Значит, точки G,H и Q лежат на одной прямой. Следовательно,

GH=GQ минус HQ= дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 XT минус дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 YZ= дробь, числитель — XT минус YZ, знаменатель — 2 ,

что и требовалось доказать. Этот факт можно считать известным.

Перейдём к нашей задаче. Предположим, что KN больше LM.

Тогда точки A и L лежат по одну сторону от прямой KN и  дробь, числитель — KN минус LM, знаменатель — 2 = 12. Через вершину М проведём прямую, параллельную боковой стороне KL. Пусть эта прямая пересекается с прямой KN в точке B. Тогда

BN = KN минус KB = KN минус LM= 24, BM= KL = 7.

Треугольник BMN — прямоугольный, так как

BN в степени 2 плюс ВМ в степени 2 = 24 в степени 2 плюс 7 в степени 2 = 576 плюс 49 = 625 = 25 в степени 2 = MN в степени 2 ,

значит, прямые AK и KN перпендикулярны.

Из системы

 система выражений  новая строка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (KN минус LM) = 12, новая строка дробь, числитель — 1, знаменатель — 2 (KN плюс LM) = 60 конец системы .

находим, что KN = 72, LM = 48.

Треугольник ALM подобен прямоугольному треугольнику MBN (по двум углам) с коэффициентом  дробь, числитель — LM, знаменатель — BN = дробь, числитель — 48, знаменатель — 24 = 2, значит,

AL = 2 умножить на BM =2 умножить на 7 = 14, AM = 2 умножить на MN = 2 умножить на 25 = 50.

Пусть r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ALM. Тогда

r= дробь, числитель — AL плюс LM минус AM, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 14 плюс 48 минус 50, знаменатель — 2 = 6.

Пусть теперь KN меньше LM.

Тогда точки A и L лежат по разные стороны от прямой KN. В этом случае KN = 48, LM = 72. Пусть прямая, проведённая через точку N параллельно KL, пересекает прямую LM в точке C. Тогда треугольник ALM подобен прямоугольному треугольнику NCM с коэффициентом 3, поэтому

AL = 3 умножить на CN= 21, AM = 3 умножить на MN= 75.

Пусть r — радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник ALM. Тогда

r= дробь, числитель — AL плюс LM минус AM, знаменатель — 2 = дробь, числитель — 21 плюс 72 минус 75, знаменатель — 2 = 9.

 

Ответ: 6 или 9.


Аналоги к заданию № 500015: 500021 500470 501551 501557 505243 511332 Все

Классификатор планиметрии: Окружности и четырёхугольники