В любой тра­пе­ции от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции, равен по­лу­раз­но­сти ос­но­ва­ний тра­пе­ции, а сред­няя линия  — по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний тра­пе­ции. В нашем слу­чае по­лу­раз­ность ос­но­ва­ний равна 5, а по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний равна 25, по­это­му ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 20 и 30.

Пред­по­ло­жим что BC  =  30, AD  =  20 (рис. 1). Сто­ро­ны BС и АD тре­уголь­ни­ков МВС и MAD па­рал­лель­ны, по­это­му эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­чит,

За­ме­тим, что MB² + MC²  =  BC², по­это­му тре­уголь­ник МВС  — пря­мо­уголь­ный с ги­по­те­ну­зой BС. Ра­ди­ус его впи­сан­ной окруж­но­сти равен:

Пусть те­перь AD  =  30, BC  =  20 (рис. 2). Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю можно по­ка­зать, что ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка MAD равен 6. Тре­уголь­ник MAD и МВС по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка МВС равен r  =  6k  =  4.

Ответ: 4; 6.

В любой тра­пе­ции от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции, равен по­лу­раз­но­сти ос­но­ва­ний тра­пе­ции, а сред­няя линия  — по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний тра­пе­ции. В нашем слу­чае по­лу­раз­ность ос­но­ва­ний равна 7,5, а по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний равна 17,5, по­это­му ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 10 и 25.

Пред­по­ло­жим что LM  =  25, KN  =  10 (рис. 1). Сто­ро­ны LM и KN тре­уголь­ни­ков ALM и AKN па­рал­лель­ны, по­это­му эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­чит,

За­ме­тим, что AL² + LM²  =  AM², по­это­му тре­уголь­ник ALM  — пря­мо­уголь­ный с ги­по­те­ну­зой AM. (По­это­му тра­пе­ция пря­мо­уголь­ная, как и изоб­ра­же­но на ри­сун­ке.) Ра­ди­ус впи­сан­ной в тре­уголь­ник ALM окруж­но­сти равен

Пусть те­перь KN  =  25, LM  =  10 (рис. 2). Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю можно по­ка­зать, что ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка AKN равен 5. Тре­уголь­ник AKN и ALM по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ALM равен

Ответ: 2; 5.

В любой тра­пе­ции от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции, равен по­лу­раз­но­сти ос­но­ва­ний тра­пе­ции, а сред­няя линия  — по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний тра­пе­ции. В нашем слу­чае по­лу­раз­ность ос­но­ва­ний равна 7,5, а по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний равна 37,5, по­это­му ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 30 и 45.

Пред­по­ло­жим, что (рис. 1). Сто­ро­ны BС и АD тре­уголь­ни­ков МВС и MAD па­рал­лель­ны, по­это­му эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­чит,

За­ме­тим, что по­это­му тре­уголь­ник МВС  — пря­мо­уголь­ный с ги­по­те­ну­зой BС. Ра­ди­ус его впи­сан­ной окруж­но­сти равен:

Пусть те­перь (рис. 2). Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю можно по­ка­зать, что ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка MAD равен 9. Тре­уголь­ник MAD и МВС по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка МВС равен

Ответ: 6; 9.

В любой тра­пе­ции от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей тра­пе­ции, равен по­лу­раз­но­сти ос­но­ва­ний тра­пе­ции, а сред­няя линия  — по­лу­сум­ме ос­но­ва­ний тра­пе­ции. В нашем слу­чае по­лу­раз­ность ос­но­ва­ний равна 7,5, а по­лу­сум­ма ос­но­ва­ний равна 17,5, по­это­му ос­но­ва­ния тра­пе­ции равны 10 и 25.

Пред­по­ло­жим, что (рис. 1). Сто­ро­ны LM и KN тре­уголь­ни­ков ALM и AKN па­рал­лель­ны, по­это­му эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­чит,

За­ме­тим, что по­это­му тре­уголь­ник ALM пря­мо­уголь­ный с ги­по­те­ну­зой Ра­ди­ус его впи­сан­ной окруж­но­сти равен:

Пусть те­перь (рис. 2). Ана­ло­гич­но преды­ду­ще­му слу­чаю можно по­ка­зать, что ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка AKN равен 5. Тре­уголь­ни­ки AKN и ALM по­доб­ны с ко­эф­фи­ци­ен­том Зна­чит, ра­ди­ус впи­сан­ной окруж­но­сти тре­уголь­ни­ка ALM равен

Ответ: 2; 5.

До­ка­жем сна­ча­ла, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей любой тра­пе­ции, равен по­лу­раз­но­сти ос­но­ва­ний. Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим про­из­воль­ную тра­пе­цию XYZT с ос­но­ва­ни­я­ми

Пусть G и H  — се­ре­ди­ны её диа­го­на­лей XZ и YT, a Q  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны Тогда GQ и HQ  — сред­ние линии тре­уголь­ни­ков XZT и YZT, по­это­му и а так как то Зна­чит, точки и Q лежат на одной пря­мой. Сле­до­ва­тель­но,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать. Этот факт можно счи­тать из­вест­ным.

Пе­рейдём к нашей за­да­че. Пред­по­ло­жим, что

Тогда точки A и L лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой KN и Через вер­ши­ну про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную бо­ко­вой сто­ро­не Пусть эта пря­мая пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке Тогда

Тре­уголь­ник BMN  — пря­мо­уголь­ный, так как

зна­чит, пря­мые AK и KN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Из си­сте­мы

на­хо­дим, что

Тре­уголь­ник ALM по­до­бен пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку MBN (по двум углам) с ко­эф­фи­ци­ен­том зна­чит,

Пусть r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник Тогда

Пусть те­перь

Тогда точки A и L лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой В этом слу­чае Пусть пря­мая, про­ведённая через точку N па­рал­лель­но KL, пе­ре­се­ка­ет пря­мую LM в точке Тогда тре­уголь­ник ALM по­до­бен пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку NCM с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му

Пусть r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник Тогда

Ответ: 6 или 9.

До­ка­жем сна­ча­ла, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей любой тра­пе­ции, равен по­лу­раз­но­сти ос­но­ва­ний.

Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим про­из­воль­ную тра­пе­цию XYZT с ос­но­ва­ни­я­ми Пусть G и H  — се­ре­ди­ны её диа­го­на­лей XZ и YT, a Q  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны Тогда GQ и HQ  — сред­ние линии тре­уголь­ни­ков XZT и YZT, по­это­му и а так как то Зна­чит, точки G, H и Q лежат на одной пря­мой. Сле­до­ва­тель­но,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать. Этот факт можно счи­тать из­вест­ным.

Пе­рейдём к нашей за­да­че. Пред­по­ло­жим, что KN > Тогда точки A и L лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой KN и Через вер­ши­ну M про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную бо­ко­вой сто­ро­не Пусть эта пря­мая пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке Тогда

Тре­уголь­ник BMN  — пря­мо­уголь­ный, так как

зна­чит, пря­мые AK и KN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Из си­сте­мы

на­хо­дим, что

Тре­уголь­ник ALM по­до­бен пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку MBN (по двум углам) с ко­эф­фи­ци­ен­том зна­чит,

Пусть r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник Тогда

Пусть те­перь

Тогда точки A и L лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой В этом слу­чае Пусть пря­мая, про­ведённая через точку N па­рал­лель­но KL, пе­ре­се­ка­ет пря­мую LM в точке Тогда тре­уголь­ник ALM по­до­бен пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку NCM с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му

Пусть r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник Тогда

Ответ: 3 или 9.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей равен по­лу­раз­но­сти боль­ше­го и мень­ше­го ос­но­ва­ний тра­пе­ции, а сред­няя линия равна их по­лу­сум­ме. Пусть KN мень­шее ос­но­ва­ние, а LM  — боль­шее. Тогда от­ку­да

Рас­смот­рим слу­чай 1. Найдём вы­со­ту тра­пе­ции. Пусть и   — вы­со­ты тра­пе­ции. Тогда из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и имеем: Пусть тогда (см. рис.), по­сколь­ку имеем :

Сле­до­ва­тель­но, точка сов­па­да­ет с точ­кой L, тра­пе­ция KLMN яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ной (см. рис.). Про­дол­жим KL и MN до пе­ре­се­че­ния в точке с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия тогда ис­ко­мый ра­ди­ус окруж­но­сти

Рас­смот­рим слу­чай 2 (Точка лежит на про­дол­же­нии ос­но­ва­ния LM). Найдём вы­со­ту тра­пе­ции. Ана­ло­гич­но слу­чаю 1 имеем:

В этом слу­чае также сов­па­да­ет с L, что ис­сле­до­ва­но в преды­ду­щем слу­чае.

В слу­чае 3 () имеем

ана­ло­гич­но в слу­чае 4.

Ответ: 3 или 9.

До­ка­жем сна­ча­ла, что от­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей любой тра­пе­ции, равен по­лу­раз­но­сти ос­но­ва­ний. Дей­стви­тель­но, рас­смот­рим про­из­воль­ную тра­пе­цию XYZT с ос­но­ва­ни­я­ми ХТ > YZ.

Пусть G и Н  — се­ре­ди­ны её диа­го­на­лей XZ и YT, a Q  — се­ре­ди­на бо­ко­вой сто­ро­ны ZT. Тогда GQ и HQ  — сред­ние линии тре­уголь­ни­ков XZT и YZT, по­это­му и а так как то Зна­чит, точки G, Н и Q лежат на одной пря­мой. Сле­до­ва­тель­но,

что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать. Этот факт можно счи­тать из­вест­ным.

Пе­рейдём к нашей за­да­че. Пред­по­ло­жим, что KN > LM.

Тогда точки А и L лежат по одну сто­ро­ну от пря­мой KN и Через вер­ши­ну М про­ведём пря­мую, па­рал­лель­ную бо­ко­вой сто­ро­не KL. Пусть эта пря­мая пе­ре­се­ка­ет­ся с пря­мой KN в точке В. Тогда

Тре­уголь­ник BMN  — пря­мо­уголь­ный, так как

зна­чит, пря­мые АК и KN пер­пен­ди­ку­ляр­ны.

Из си­сте­мы

на­хо­дим, что

Тре­уголь­ник ALM по­до­бен пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку MBN (по двум углам) с ко­эф­фи­ци­ен­том зна­чит,

Пусть r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ALM. Тогда

Пусть те­перь KN < LM.

Тогда точки А и L лежат по раз­ные сто­ро­ны от пря­мой KN. В этом слу­чае Пусть пря­мая, про­ведённая через точку N па­рал­лель­но KL, пе­ре­се­ка­ет пря­мую LM в точке С. Тогда тре­уголь­ник ALM по­до­бен пря­мо­уголь­но­му тре­уголь­ни­ку NCM с ко­эф­фи­ци­ен­том по­это­му

Пусть r  — ра­ди­ус окруж­но­сти, впи­сан­ной в пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ALM. Тогда

Ответ: 3 или 9.

При­ведём дру­гое ре­ше­ние.

От­ре­зок, со­еди­ня­ю­щий се­ре­ди­ны диа­го­на­лей равен по­лу­раз­но­сти боль­ше­го и мень­ше­го ос­но­ва­ний тра­пе­ции, а сред­няя линия равна их по­лу­сум­ме. Пусть KM мень­шее ос­но­ва­ние, а LM  — боль­шее. Тогда

Пер­вый слу­чай. Найдём вы­со­ту тра­пе­ции. Пусть и   — вы­со­ты тра­пе­ции. Тогда из пря­мо­уголь­ных тре­уголь­ни­ков и имеем: Пусть тогда (см. рис.), по­сколь­ку имеем :

Сле­до­ва­тель­но, точка сов­па­да­ет с точ­кой L, тра­пе­ция KLMN яв­ля­ет­ся пря­мо­уголь­ной (см. рис.). Про­дол­жим KL и MN до пе­ре­се­че­ния в точке с ко­эф­фи­ци­ен­том по­до­бия тогда ис­ко­мый ра­ди­ус окруж­но­сти

Вто­рой слу­чай. Найдём вы­со­ту тра­пе­ции. Ана­ло­гич­но слу­чаю 1 имеем:

В этом слу­чае также сов­па­да­ет с L, что ис­сле­до­ва­но в преды­ду­щем слу­чае.

В тре­тьем слу­чае имеем ана­ло­гич­но в чет­вер­том слу­чае.

Ответ: 3 или 9.